例析分类讨论思想在中考题中的应用

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在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析，这种分类的方法就是分类讨论法.由于分类讨论题覆盖知识点较多、方式多样，具有较高的逻辑性和综合性，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧.因此，在近几年的中考命题中经常用到这种数学思想方法．

用分类讨论思想解题时首先要明确研究的对象，然后进行合理分类，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

一、与数学概念、定义有关的分类讨论题

例１ （2008年河南省）若 aｂ≠０，则|a|a+|b|b的取值不可能是（ ）

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） -2

分析：因为 aｂ≠０，

所以 aｂ＞０或 aｂ＜０.

若 aｂ＞０，则可能出现两种情况：

a＞０，ｂ＞０或者 a＜０，ｂ＜０；

若 aｂ＜０，则又可能出现两件情况：

a＞０，ｂ＜０或者 a＜０，ｂ＞０．

解：（1）若 aｂ＞０，

①当 a＞０，ｂ＞０时，

|a|a+|b|b=１+１=２；

②当 a＜０，ｂ

|a|a+|b|b=（-１）+（-１）=-２；

（2）若 aｂ＜０，

①当a＞０，ｂ＜０时，

|a|a+|b|b=１+（-１）=０；

②当 a＜０，ｂ>０时，

|a|a+|b|b=（-１）+１=０．

所以可能出现的结果有０，２，-２．故选（Ｂ）.

评注：这是一道比较基础却很典型的绝对值分类讨论题，问题中求|a|a+|b|b的值不可能的数，实际上是求|a|a+|b|b的值后，运用排除法再求到|a|a+|b|b不可能的值．而要求|a|a+|b|b的值关键是要分类讨论去掉绝对值，按照绝对值的定义这个标准分类，做到不重不漏才能准确解决这类问题．

例2 （2008年湖北省）两圆半径分别为2和5，若两圆相切，则圆心距为.

分析：两圆相切可有内切和外切两种情况.所以本题要求两圆相切时的圆心距，就是分类讨论两圆内切和两圆外切时求圆心距．

解：（1）当两圆内切时，圆心距为5-2=3；

（2）当两圆外切时，圆心距为7；

所以应填3或7.

评注：本题考查两圆相切的概念：两圆相切包括内切和外切，所以分两种情况讨论，不理解概念很容易造成漏解.

二、涉及数学定理、公式适用范围的分类讨论题

例3 （2008年湖南省）当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程 mx2-４x+４=０与 x2-４mx+４m2-４m-５=０的根都是整数．

分析：本题要求两个一元二次方程的根都是整数，首先应根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零（这也是学生解决诸如此类问题中最易忽略的错误，应引起重视）；其次是有根，则 b2-4ac≥０；通过以上两点就可确定 m 的取值范围．最后再由 m 是整数，在 m 的范围内找出 m 的值，并验证两个一元二次方程的根都是整数．

解：由于给出的关于 x 的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即 m≠０．

又由于方程均有实根，由方程 mx2-４x+４=０，得 b2-4ac=（-４）2-４m×４≥０，

解得 m≤１.

由方程 x2-４mx+４m2-４m-５=０，得

b2-4ac=（-４m）2-４×１×（４m2-４m-５）≥０，

解得 m≥-54．

所以-54≤m≤１，且 m≠０.

又因为 m 是整数，所以 m=-１或１．

当 m=-１时，方程 mx2-４x+４=０可化为 x2+４x-４=０，解这个方程可得，x=-2±22，

所以方程 mx2-４x+４=０的根不是整数，故 m=-１舍去．

当 m=１时，方程 mx2-４x+４=０可化为 x2-４x+４=０，

解这个方程可得，x1=x2=２；

方程 x2-４mx+４m2-４m-５=０可化为 x2-４x-５=０，

解这个方程可得，x1=5，x2=-１．

所以由以上讨论知，m=１时，一元二次方程 mx2-４x+４=０与 x2-４mx+４m2-４m-５=０的根都是整数．

评注：本题虽然是一道分类讨论题，但问题中还涉及到求不等式（组）的取值范围，尤其是对一元二次方程二次项系数的考查，更是抓住了学生的易错点．在中考的复习过程中，有意识地训练这类问题，不仅能培养学生分类讨论的思想，更重要的是，它能培养学生细心、耐心的品质，养成全面分析问题和解决问题的能力．

三、依据题意需要进行讨论的分类讨论题

例4 （2008年四川省）已知关于 x 的函数 y=（a2+３a+２）x2+（a+１）x+14的图象与x轴总有交点．求 a 的取值范围.

分析：函数图象与 x 轴总有交点，就是当 y=０时方程总有实根，由于题中未明确指出是一次函数还是二次函数，因此应分两种情况讨论．

解：①当 a2+３a+２=0时，a=-1或 a=-2，

当 a=-1时，则函数可化为 y=14，与 x 轴无交点，故舍去；

当 a=-2时，则函数可化为 y=-x+14，与 x 轴有一个交点.

②当 a2+３a+２≠0（即 a≠-1且 a≠-2）时，

函数 y=（a2+３a+２）x2+（a+１）x+14为二次函数．

若该函数的图象与 x 轴总有交点，则 b2-4ac≥0，

所以（a+1）2-4（a2+3a+2）×14≥0，解这个不等式，可得 x≤-1．

因为 a≠-1且 a≠-2，

所以当 a＜-1且 a≠-2时，该二次函数的图象与 x 轴有两个交点.

综合①、②可知，当 a＜-1时，此函数的图象与 x 轴总有交点.

评注：本题之所以要分类讨论是因为问题中并没有说明关于 x 的函数 y=（a2+３a+２）x2+（a+１）x+14是一次函数还是二次函数，所以要分一次函数和二次函数两种情况来讨论．

例5 （2008年云南省）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于.

分析：由于题目中“直角三角形的两条边长分别为6和8”,没有指明这两条边是直角边还是斜边，故要分6和8是直角边、斜边来讨论．由于6＜8，所以6为斜边不成立，故分6、8是直角三角形的两条直角边和6是这个三角形的直角边，8是斜边两种情况来讨论．

解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，

此时这个三角形的外接圆半径等于12×10=5；

②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，

此时这个三角形的外接圆半径等于12×8=4．

综合①、②知，这个三角形的外接圆半径等于5或4．

评注：这是一道比较基础却很典型的分类讨论题，关键是要注意题设中的“两条边长”．

例6 （2008年黑龙江省）在ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为．

分析：由于问题中“AD是BC边上的高”没有说明点D是在边BC上，还是在边BC的延长线上，故要分点D在边BC上和边BC的延长线上两种情况来讨论．

解：①如图1，当点D在边BC上时，

因为AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，

所以ADBD=DCAD，

∠ADC=∠ADB=90°，

所以ADC∽BDA，

所以∠CAD=∠B=25°，

所以∠BCA=90°-∠CAD=90°-25°=65°；

②如图2，当点D在BC的延长线上时，

因为AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，

所以ADBD=DCAD，

∠ADC=∠ADB=90°，

所以ADC∽BDA，

所以∠CAD=∠B=25°，

∠BCA=∠D+∠CAD=90°+25°=115°．

所以由①、②可知，∠BCA的度数为65°或115°．

评注：这是一道非常容易出错的题目，很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解．

从以上三题可以看出：一些难度并不很大的题目频频出现错误，很多时候就是由于缺乏分类思想才导致的，这就要求学生在中考复习中注重研究性学习与探究能力的培养，通过观察、猜想、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识尤其是数学方法的理解，才能对这类问题迎刃而解．

四、涉及几何元素位置变化的分类讨论题

例7 （2008年山东省）如图3，已知RtABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AEAB，且AE=15，连接BE交AC于点P．

（1）求PA的长；

（2）以点A为圆心，AP为半径作A，试判断BE与A是否相切，并说明理由；

（3）如图4，过点C作CDAE，垂足为D．以点A为圆心，r 为半径作A；以点C为圆心，R为半径作C．若 r 和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持A和C相切，且使D点在A的内部，B点在A的外部，求 r 和R的变化范围．

分析：(1)由于∠CAB=30°，BC=5,故在RtABC中，可求出AC的长为10，借助AE∥BC，可求出AP与PC的比值，从而可求出PA的长；

(2)由于点P在A，故要判断BE与A是否相切，就是要说明AP是否与BE垂直，当APBE时，BE与A是否相切；

(3)由于D点在A的内部，B点在A的外部，故可求 r 的变化范围为5＜r＜53．考虑到在变化过程中保持A和C相切，圆心距AC=r+R=10，故分内切和外切两种情况来求R的变化范围．

解：（1）因为在RtABC中，

∠CAB=30°，BC=5,

所以AC=2BC=10．

因为AE∥BC，所以APE∽CPB．

所以PA∶PC=AE∶BC=3∶1．

所以PA∶AC=3∶4，PA=3×104=152．

（2）BE与A相切．

因为在RtABE中，AB=53，AE=15，

所以 tan∠ABE=AEAB=1553=3，

所以∠ABE=60°．

又因为∠PAB=30°，

所以∠ABE+∠PAB=90°,

所以∠APB=90°，所以BE与A相切．

（3）因为AD=5,AB=53，所以 r 的变化范围为5＜r＜53．

当A与C外切时，R+r=10，所以R的变化范围为10-53＜R＜5；

当A与C内切时，R-r=10，所以R的变化范围为15

评注：问题的第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论，须分内切和外切两种情况加以讨论，这就要求学生在解这类问题时一定要注意认真读题、审题，本题中“相切”两字是正确解题的关键词．

例8 （2008年浙江省）如图5,平面直角坐标系中,直线AB与 x 轴,y 轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点,点C为线段AB上的一动点,过点C作CDx 轴于点D.

(1)求直线AB的解析式；

(2)若S梯形OBCD=433,求点C的坐标；

(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

分析：(1)、(2)略；（3）本题主要考察学生的分类讨论能力.由于OBA为直角三角形，若POB与OBA相似，则POB一定是直角三角形．因为问题中没有明确说明POB的三个顶点P、O、B哪个是直角顶点，所以要分P、O、B分别是直角顶点来进行讨论，而POB与OBA相似的直角对应边也可改变，因此，还要分POB与OBA的直角边之间的相互对应进行第二次讨论．

解：（1）直线AB解析式为：

y=-33x+3．

（2）因为SAOB=12OA×OB=332，

S梯形OBCD=433.

所以SACD=36．

由OA=3OB，得∠BAO=30°，AD=3CD．

所以SACD=12CD×AD=32CD2=36．

可得CD=33．

所以AD=１，OD=２．所以C（２，33）．

（３）当∠OBP为直角时（如图6），

①若BOP∽OBA，则

∠BOP=∠BAO=30°，BP=3OB=3，

所以P1（3，33）．

②若BPO∽OBA，则

∠BPO=∠BAO=30°,OP=33OB=1．

所以P2（1，3）．

当∠OPB直角时，

③如图7，过点P作OPBC于点P，此时PBO∽OBA，∠BOP=∠BAO=30°

过点P作PMOA于点M．

在RtPBO中，

BP=12OB=32，

OP=3BP=32．

因为在RtPＭO中，∠OPM=30°，

所以OM=12OP=34；

PM=3OM=334．

所以P3（34，334）．

④如图8，若POB∽OBA，则

∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．

所以PM=33OM=34．

所以P4（34，34）（注：由对称性也可得到点P4的坐标）．

当∠POB为直角时，点P在 x 轴上,不符合要求.

综合以上可得，符合条件的点有四个，分别是：

P1（3，33），P2（1，3），P3（34，334），P4（34，34）．

评注：本题作为中考的压轴题是一道极具典型意义的试题，表面上来看很简单，就是根据边和角的对应关系分类讨论，但仔细推敲就会发现，本题实际上有一定的难度，问题中蕴含着（二次）分类的智慧，分类的情况比较复杂．解这类问题时，要求学生要多读试题，首先确定分类的方向，理好解题思路，寻求变化的规律，然后再层层递进，一环扣一环，探究出符合问题要求的全部解．这类问题较好地考查了学生分析问题、应用数学模型解决问题的能力，充分体现出分类讨论思想在解决数学上问题的优越性．

（初三）