三角形角平分线夹角性质探秘

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学完《三角形》一章后,在老师的引导下进行综合复习时,我发现根据三角形的内角和、外角和定理及角平分线的意义,可以探寻出三角形角平分线夹角的一些性质.同学们,你们愿意和我一起探寻这些性质吗?

探究一:三角形内角平分线夹角的性质.

例1 如图1,已知ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点I,你能猜想出∠BIC和∠A的数量关系吗?

解析:因为∠BIC与∠1、∠2在同一个三角形中,

所以∠BIC=180?∠1+∠2).

又因为∠A与∠ABC、∠ACB在同一个三角形中,

所以∠A=180?∠ABC+∠ACB).

要探寻∠BIC与∠A的关系,就是要探寻(∠1+∠2)与

(∠ABC+∠ACB)的关系.它们之间有关系吗?

因为∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2.

故∠BIC=180?∠1+∠2)=180?∠ABC+∠ACB)

=180?∠ABC+∠ACB) =180?180)

=180?0∠A=90∠A.

这样我们就得到三角形内角平分线夹角的性质定理:三角形两个内角平分线的夹角等于90与第三个角的一半的和

探究二:三角形两外角平分线夹角的性质.

例2如图2,已知ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点P,你能猜想出∠BPC和∠A的数量关系吗?

解析:对这一题能采取和上例一样的思路求解吗?让我们一起来试一试!

因为∠BPC与∠1、∠2在同一个三角形中,

所以∠BPC=180?∠1+∠2).

又因为∠A与∠ABC,∠ACB在同一个三角形中,

所以∠A=180?∠ABC+∠ACB).

要探寻∠BPC与∠A的关系,就是要探寻(∠1+∠2)与

(∠ABC+∠ACB)的关系.它们之间有关系吗?

不难发现∠ABC=180?∠1,∠ACB=180?∠2.

所以∠BPC=180?∠1+∠2)

=180?180BC)+(180CB)]

=(∠ABC+∠ACB)=(180)

=90.

三角形外角平分线夹角性质定理:三角形两个外角平分线的夹角等于90探究三:三角形的一个内角的平分线与一个外角的平分线夹角的性质.

如图3,已知ABC中,∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线相交于点Q,参照上面的方法,也能探寻出∠BQC和∠A的数量关系:∠BQC= ∠A,从而得到三角形的一个内角的平分线与一个外角的平分线夹角的性质定理:三角形的一个内角的平分线与一个外角的平分线夹角等于第三角的一半.

当我把自己的发现兴冲冲地告诉老师的时候,在得到期望中的赞许之后,也领受了新的探究任务:

探究四,在图3中,若∠QBD的角平分线和∠QCD的角平分线相交于点Q1,∠Q1和∠A有何数量关系?

探究五, 如图4,把上面三个图综合到一个图中,你能找出哪些角之间有特殊的数量关系?

探究六, 如图5,AD与BC 交于点O,∠ABC的角平分线和∠ADC的角平分线相交于点P,你能猜想∠P和∠A+∠C的数量关系吗?

同学们,让我们一起来继续探索这些与三角形的角平分线有关的角的奥秘吧!

(指导教师曾华松)