教学反思例谈数学概念导入教学中的“操作”

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[摘 要] “操作”，包括外在的活动操作与内在的智力操作.在数学概念导入的教学中，学生通过“操作”，经历复杂而丰富的认知过程，获得数学概念的丰富表象，促进对数学概念的表征. 本文阐述数学概念导入教学中“操作”的设计：在“直线、射线、线段”概念导入教学中实施动手动脑式的“操作”； 在“相交线”概念教学中实施问题解决式的“操作”； 在概率定义的导入教学中实施分组实验活动式的“操作”.

[关键词] 操作；数学概念教学；概念导入

美国数学教育家杜宾斯基认为，学生学习数学概念需要进行心理建构，只有在自身已有知识、经验的基础上主动建构新知识的意义，才能达成理解. 而这一建构过程需要经历四个阶段，即操作阶段、过程阶段、对象阶段、图式阶段. 李善良先生在其著作《现代认知观下的数学概念学习与教学》中指出： 数学概念教学的“线性渐进模式”共由五个阶段组成，即操作阶段、表象阶段、定义阶段、运用阶段、体系阶段. 可见，数学概念形成教学的第一步是让学生“操作”. 那么，为什么要在数学概念形成教学的开始先让学生“操作”？“操作”的含义是什么？怎样在数学概念的导入教学中引导学生进行“操作”？这正是笔者要阐述的问题.

“操作”泛指数学活动，如动手操作、猜想、回忆、计算、推理等，“操作”，包括外在的活动操作与内在的智力操作，而不是仅指学生的肢体动作，学生通过“操作”，为理性的抽象概括提供感性基础. 应当注意的是，在概念学习中不存在单独的内部操作和单独的外部操作，外部操作是在已有的内部操作基础上进行的，而内部操作又是由外部操作内化而来的.

学生要构造自己理解的数学概念，关键是一种思想上的飞跃，即皮亚杰提出的“反省抽象”. 为了形成反省，必须将自己的实践性活动变为思考的对象，即被反省的基础是“操作”过程，缺少了“操作”，反省无法落实；“操作”达不到一定数量，过程的各种状态和性质在心理上不易引起注意. 因此，学生“操作”的直接目的是现场积累学习新知识所必需的经验，或是对自己已具有的相对模糊的经验进行强化，增强体验使之处于活跃状态，从而为进一步的抽象概括提供对象和素材. 学生通过“操作”，经历复杂而丰富的认知过程，把外在的动作物化出来，又通过自己的语言内化成自己的思维动作，达到内外合一，从而获得数学概念的丰富表象，促进对数学概念的表征.

在数学概念导入的教学中怎样引导学生进行具体的“操作”？下面列举笔者的一些做法，以求教于同行.

教学过程设计如下：

1. 提出问题

问题：要在墙上固定一根木条，至少需要几个钉子？

先让学生动手操作，并记录每一步的结果，再让学生写出经过探索得到的结论.

动画演示：分别演示一根木条钉一个钉子和一根木条钉两个钉子的情境.

2. 模型建立

画图：①经过一点O画直线，能画几条？

②经过A，B两点呢？

先让学生动手画一画，然后在小组中交流画图的结果.

3. 模型解释

通过实验和探索，得到：

①经过一点有无数条直线.

②经过两点有一条直线，并且只有一条直线.

“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的主要方式，观察、操作、实验等数学活动是学习几何知识的主要学习形式. ”通过“操作”，让学生感知具体的“要在墙上固定一根木条，至少需要2个钉子”的事实，通过画图，让学生经历把钉子抽象成点、把木条抽象成直线的过程，从而获得直线的性质. 通过上述“操作”，学生经历了知识的发生、发展过程，归纳得到直线的性质，实现概念理解和结论由来的从感性到理性的自然深化，也就提升了学生对几何知识的感悟.

笔者认为，几何教学不容忽视的是：应该引导学生多操作、勤画图，画“美”图，让画图美术、实验操作与推理论证有机结合、相辅相成，引导学生用视觉、触觉等多种感官参与认知，帮助学生在操作、体验的过程中，认识图形的特征，以此来激发学生的学习兴趣，培养学生良好的解题习惯.

上课开始，老师创设问题情境让学生“操作”，即如图1，两堵墙围成一个角∠AOB，现给你一个木头制作的大量角器，但不能进入围墙，你如何用这个量角器去测量这个角的大小？

用量角器测量一个角的大小，学生是熟悉的，但这是一个实际问题，不能进入围墙用量角器去测量∠AOB的大小，只能在围墙外测量，于是引发了学生的认知冲突，学生自觉地尝试着去思考和解决这个问题. 经过学生的“操作”，老师请有不同思考的同学在全班交流，这样，学生不同的想法就出来了：如图2，有的说，反向延长射线OB得到OC，因为∠BOC是一平角，所以只要测量出∠AOC的度数，就可知道∠AOB的度数；也有的说，反向延长射线OA得到OD，同样，只要测量出∠BOD的大小，就可知道∠AOB的大小；还有的说，反向延长射线OB得到OC，反向延长射线OA得到OD，∠COD的大小就是∠AOB的大小. 通过学生的“操作”，相交线、邻补角、对顶角等概念的基本图形在学生的头脑中已初成雏形.

以上学生在探究如何测量∠AOB的大小过程中，从不同的方向去思考和添作辅助线，这样的“操作”，为真正理解邻补角、对顶角等数学概念积累了感性经验，也正是这样的“操作”，下面构建的邻补角、对顶角及“对顶角相等”等数学概念在认知结构中才会有所依托，才会巩固.

例3？摇？摇在概率定义的导入教学中实施分组实验活动式的“操作”.

环节1：上课开始，教师播放两位同学抛硬币游戏的录像.

录像内容为：学生小明将壹元钱的硬币往空中一投，然后宣布：“正面！”不满足于一次的尝试，他又投了一次，“正面！”，学生王敏静静地注视他投了一次又一次的“正面，正面，……，正面！”，居然连续100次投了“正面”，这时，王敏同学似乎有些不相信，忍不住一把抓住壹元硬币，仔细检查其两面，发现与其他壹元硬币没什么两样. 然后，她也将这枚硬币往空中一投，居然还是“正面”. 她若有所思地说：“怎么会这样？正面和反面应该有相同的机会出现啊！”

此时，多数同学一边观看录像，一边在暗自发笑.

环节2：学生自由发言.

教师将录像关掉，问全班同学：为什么这个片段会使你发笑？请同学们自由发言.

学生甲：我觉得这是不可能的，不可能连续投出100个正面.

师：你是怎么知道的？真的不可能吗？

学生乙：是有可能，但可能性很小.

学生丙：如果像录像中那样连续投掷100次都是正面，我会感到惊讶. 一般来说，平均起来，正面和反面的次数应该是一样多啊！

全班大多数学生齐声说“对”.

师：好！请你们来检验自己的观点.

环节3： 分组实验活动.

按照兴趣相近、特长互补，每组皆有组织协调能力较强者的原则，将全班同学分组（每4个人一组，一人抛，一人观察，一人记录，一人检查）做实验：把一枚硬币抛多次，观察其出现的结果，并记录各结果出现的频数，然后计算各频率，再填写下表：

环节4：全班交流.

每个组将自己的结果展示在黑板上，其中有一组陈述了自己的假设和观点：“出现正面的平均次数恰好是投掷次数的一半.”

最后由一个同学用计算器把每个组的数据加起来，并除以小组个数，得到平均数，得到各组出现正面的平均比例为49.2%，很接近50%.

环节5： 得到定义.

值得注意的是， 在数学概念形成的教学中，如果教师只是借助于个别实例很快地进入概念定义，没有让学生“操作”， 这种教学导致的后果是：学生失去由操作到定义的中介环节，难以真正完成概念的抽象，那么就容易导致学生在没有理解数学概念时就机械地背诵定义，强记忆弱迁移和强记忆负迁移在所难免. 因此，在数学概念教学的导入阶段，教师要重视学生的“操作”，要提供给学生一个“好”的数学问题，让学生去“操作”， 同时，教师在创设“好”的数学问题时，要注意取材于学生所熟悉的背景材料之中，要考虑到学生已有的认知水平与能力水平，而材料是经过学生的努力可以完成的.