浅谈几何概型的有效性教学

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摘要：新课程教学要求教师改变以往刻板的教学模式，鼓励教师根据具体的教学情景进行创造性劳动.而几何概型是新课程新增的内容，是概率问题中具有代表性的试验概型之一，结合笔者授课的教学反思，对几何概型的有效性教学进行一些思考。

关键词：几何概型；特征；测度问题

中图分类号：G633.63 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）01-0177-02

古典概型必须具备如下两个特点： 其一，所有的基本事件只有有限个；其二， 每个基本事件的发生都是等可能的. 所谓的有限性即要求基本事件的个数是有限的， 而在实际生活中有些随机试验不具备有限多个样本点，但具备发生的可能性是任意的，为扩大研究范围，学习几何概型是所需的。在教学中可以举例： 1升水的杯子中含有一只细菌，现从中取出10毫升的水样，由于细菌位置和取水样都是任意性的，因此取出的10毫升水含这只细菌的概率应是取出水的体积与杯子水总体积之比，此类例子在生活中有很多，引出几何概型的概念。

1.几何概型的概念理解

几何概型的两个特征：（1）每次实验的结果有无限多个；（2）每次实验的各种结果发生是等可能的.在教学过程中，这里的"等可能性"教材解释为："对于一个随机试验， 我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点， 该区域中每一点被取到的机会都一样； 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点"定义中的"该区域中每一个点被取到的机会都一样"即等可能性，学生对这个概念的理解常常出现错误.课本例题"某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率."教材的意图是通过长度或角度来体现几何概型的求解方式.学生的思维是发散的，以下是学生可能出现的图像：常见的圆形钟；电子手表；长方形的钟表。

在长方形的钟表图中，学生存在这样的认识：将其抽象成矩形，认为10点位置刚好在对角线上，如果这个人在分钟对到10点方向至12点方向能满足题意，因此用面积的比值算得到18.这种做法忽视了对等可能性的考虑.从图像看9点到10点的面积与10点到12点的面积相等，但9点到10点所用的时间与10点到12点所用的时间是不等的，因此不符合等可能性.显然在教学中应该强调对等可能性的考虑。

2.几何概型的测度问题

设几何概型的样本空间可以表示成有度量的区域，记为Ω， 事件A所对应区域仍以A来表示， 则定义事件A发生的概率.在教学过程中处理几何概型问题不仅要明确概念，掌握公式，更主要的是及时把问题转化为相应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.这一点要让学生有足够的认识，才不到导致解题入手点出错。

2.1 几何概型中的角度问题。本文上面涉及的课本例题1（打开收音机听整点报时的等待时间不超过10分钟的概率），如果以图3来理解，正解应该是将问题转化为角度测量：10点到12点分针走过的角度是600，分针绕钟表转一圈（用时60分钟）走过的角度是3600，因此等待报时的时间不超过10分钟的概率为

例1.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点B，求弦长AB超过半径的3倍的概率.

解：设半径为R，当弦长为 时所对的圆心角为1200，由对称图形得出要使弦长大于3R，则圆心角应大于1200小于2400，故所求的概率为.

教学分析中要关注在圆周上取点的等可能性，从而选取几何概型解题.教学中给足学生足够的时间画图，寻找能解决问题的关键点，通过作图转化为与角度有关的几何问题.

2.2 几何概型中的长度问题

例2：在等腰直角ABC的斜边AB上任取一点M，求AM的长度小于AC的概率.

解：设AC的长度为x，由勾股定理得出AB=2x，则所求的概率为.

在教学时关注题目中只涉及在AB上取一个点，属于一维问题，故转化为线段长度之比.

2.3 几何概型中的面积问题。几何概型的面积问题设置方向较为灵活，在教学中应该多做引导，避免学生误以一维问题处理.教材以例题"假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30-7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00-8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？".本例在学生的认识中很可能以长度的比值来求解，教学应该重在引导学生分析题目中涉及到两个人，，因此应该引申为两个独立的变量，从而建立坐标系（二维空间），利用面积求值.

例3：（09・辽宁）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点.在长方形ABCD内随机取一点，求取到的点到O的距离大于1的概率.

解：如图，根据几何概型概率公式得概率为

.

教学分析：对于几何概型，关键是构造随机事件对应的几何图形，点是在长方形内任意取的，在平面图形上属于面积比值问题.让学生思考如何将距离大于1转化为熟悉的知识点，引导刚好等于1的特殊情况可以用所学知识来表示，引出了圆的思维.

2.4 几何概型中的体积问题

例4：在体积为V的正三棱锥S-ABC内任意取一点P，求事件A：发生的概率.

事件A发生意味着什么？学生容易的理解为是高度之比.分析思路是：化简即故概率为显然这种做法是错误的.教学要能抢到学生忽视题目中点P是在三棱锥体内任意取的，而不是只能在高上取，将问题转化为体积问题才是关键之处.

正解：要使应该使的高小于的一半.过点P作平行于底面的平面，将三棱锥分为两部分，则所求概率为下面的台体与大三棱锥的比值刚好满足的上面的小三棱锥体积为

，所以概率之比为.

在有效的教学实践中，涉及概率题型要分析是否为古典概型或几何概型，即分析基本时间的有限性或无限性；如果是几何概型，应该更注重分析选择什么测量问题来解题，是否是直接的角度，长度，面积，体积问题，或者需要通过分析引入变量表达，借助二维（即面积）实现解题.