浅谈用函数解决实际问题的能力的培养

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函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画。我们在高中学习的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等它们分别对应了一次函数模型y = ax + b（a≠0），二次函数y = ax2+ bx+ c（a≠0），指数函数模型y = b?ax（a>0且a≠1）、对数函数模型y = b+logax （a>0且a≠1）、幂函数模型y = b?xa等。这些与现实世界紧密相连，在实际生活问题中有着广泛的应用。

解决实际问题的解题步骤：

（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，建立的函数模型一般都是函数的解析式；

（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解。

这些步骤用框图表示：

例1 若A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全。核电站距市距离不得少于10km。已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25。若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月。

（1）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；

（2）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小？

分析：本题可采用二次函数模型进行求解，由已知条件列出函数关系式，才能进一步确定供电费的最小值。

解：（1）根据题意知，y=0.25×20x2+0.25×10 (100-x)2，

整理得y=5x2+52(100-x)2（10≤x≤90）。

（2）由y=5x2+52(100-x)2＝152x2-500x+25000＝152x-10032＋500003。

则当x＝1003米时，y最小。故当核电站建在距A城1003米时，才能使供电费用最小。

例2 个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获利润列成下表：

投资A种商品金额 (万元)123456

获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40

投资B种商品金额 (万元)123456

获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51

该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算。请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。

解析： 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图。据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系。

y=-a(x-4)2+2 (a>0)，①

y＝bx。②

把x＝1，y＝0.65代入①式，得

0．65＝-a(1-4)2＋2，解得a＝0.15。

故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系式可近似地用y＝-0.15(x-4)2＋2表示；

把x＝4，y＝1代入②式，得b＝0.25。

故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系式可近似地用y＝0.25x表示。

设下个月投入A、B两种商品的资金分别是xA万元、xB万元，总利润为w万元，

即w=-320(xA-196)2+320×(196)2+2.6。

当xA＝196≈3.2时，w取得最大值，约为4.1万元，此时，xB＝536≈8.8。

函数模型的实际应用，首先要提高识图能力，提炼数据、处理数据的能力，灵活选取准确的函数模型的能力，才能逐步提高建模的能力。

（作者单位：湖南省耒阳市第二中学）