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一枚枚小小的矩形纸片,每个同学都可以信手拈来,可你别小瞧这小小的矩形纸片,由它折出的中考题却是丰富多彩的.解答时,对我们的动手动脑能力有很高的要求.如何解答这类以矩形折叠为代表的折叠问题呢?下面的三个要点是解题的关键.
1.“对称性质”是解折叠问题的基本原理
要认真审题,弄清哪些是翻折部分,哪些是翻折后的重叠部分,要抓住图形之间最本质的位置关系,从而进一步发现其中的数量关系.
2.“勾股定理”是解折叠问题的基本工具
要充分利用直角较多这一有利条件,发挥勾股定理的工具作用,求出相关线段的长度.
3.“建立方程”是解折叠问题的基本手段
要充分挖掘图形的几何性质,将其中基本的数量关系用方程的形式表达出来,并迅速求解,这是解题时常用方法之一.
一、求长度
例1 已知:如图1,矩形纸片ABCD中,AB=8,BC=10,沿AF折叠矩形ABCD,使点D刚好落在BC边上的E点处,求CF及折痕AF的长.
析解 由折叠关系知AEF≌ADF,
故AE=AD=10,EF=DF.
在RtABE中,由勾股定理有AB2+BE2=AE2.
故82+BE2=102,解得BE=6.
所以CE=BC-BE=10-6=4.
在RtCFE中,设CF=x,则EF=DF=8-x.
由勾股定理得:x2+42=(8-x)2,
解得x=3, 所以CF=3,故DF=8-3=5.
在RtADF中,由勾股定理得
二、求角度
例2 将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使D落在点H处,使C落在点P处,如图2所示,如果∠GEF=54°,求∠AGF的度数.
解析 因为EF是折叠的折痕,
所以EF是∠CFG的角平分线,所以∠CFE=∠GFE.
因为AD∥BC,所以∠GEF =∠EFC.
因为∠GEF=54°,所以∠CFE=∠GFE=54°,
所以∠GFC=108°.
因为AD∥BC,所以∠AGF =∠GFC,
所以∠AGF =108°.
三、求面积
例3 如图3,折叠矩形纸片ABCD的对角线BD,使点C落在E点,BE交AD于点M,如果AB=4,BC=8,则BMD的面积为.
解析 因为BD是折叠的折痕,
所以BD是∠CBE的角平分线,
所以∠CBD=∠EBD.
因为AD∥BC,
所以∠MDB=∠CBD,
所以∠MDB=∠MBD,
所以MB=MD.
设MB=MD=x,则AM=AD-MD=8-x.
在RtABM中,根据勾股定理,得
MB2=AB2+AM2,
所以x2=42+(8-x)2,解得x=5.