应用数学方法求解物理过程中最值问题

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摘要：物理学是一门重要的基础性学科，课程内关于物理过程中的最值问题实际应用性强，而又具一定难度。本文通过对物理过程中的最值问题进行举例分析，归纳和总结了解决这一问题的思维、方法，有助于提高学生综合运用知识的能力，促进物理教学。

关键词：物理学中最值问题 数学思维 解题方法

物理学家杨振宁指出：“可以用两片生长在同一根管茎上的叶子，来形象化说明数学与物理之间的关系。数学与物理是同命相连的，它们的生命线交接在一起。”因此，我们从物理现象出发，经过分析，把物理问题转化为数学问题，灵活运用数学知识对解决物理问题起到十分关键的作用。

以下，通过例举阐述应用数学思维求解物理过程中最值问题的方法。

一、利用几何知识解物理中最值问题

此方法主要通过作图，利用平面几何知识将物理最值问题求解

例1、如图1：倾角θ=30斜面上放一重量为G的光滑小球，斜面上立一块挡板，使小球静止。问挡板如何放置，挡板所受压力最小，最小值为多少？

解：根据重力G的实际效果分解为：F1垂直于斜面的压力，F2垂直于挡板。

重力G大小、方向一定；F1方向一定。

合力G构成一个三角形，重力G的末端到直线OA的最短距离表示F2

最小值，即过G末端作OA的垂线（如图2）

由几何关系得：

此时挡板位置垂直于斜面。

例2、如图4，要使圆柱绕A点滚上台阶，试作图说明作用于圆上的力F作

用在哪点沿什么方向最省力？

解：设圆柱重力为G，台阶上A点到重力G作用线的

距离为L（G、L不变）， 作用力为F，台阶上A点到作用力F作用线的

距离为X，由力矩平衡，GL=FX，要使F最小则X必须最大，由几何知识，过A点，作直径交圆于B点，若F作用于B点，沿切线方向

（如图4）此时X最大，F最小。

二、 运用二次函数的极值解物理中最值问题

此方法主要根据二次函数 ，进行求解

例3、用直流电动机提升重物，重物质量m为50kg，电源电压为120V。当

电动机以速度V=0.9m/s匀速向上提升重物时，电流I=5A（g取10m/s2），求（1）电机线圈电阻R，（2）电动机对重物最大提升速度是多少？

解：（1）电动机工作时的机械功率

电动机消耗的电功率

由能量转化守恒

（2）当电机提升速度变化电动机输出的机械功率

三、 运用三角函数极值求解物理中最值问题

根据三角函数Sin（x+α）=±1时，aSinx+bCosx有最值且tanα= 的性质解题是

一种重要方法。

例4如图5质量为m的物体受拉力F作用在水平地面匀速直线运动，物体与地面动摩擦因数为?，当F与水平方向夹角θ为多少时F最小？

解：物体受力分析如图6 ，由牛顿定律

Fcosθ-?FN=0

F Sinθ+ FN= mg

Fcosθ=?（mg- F Sinθ）

四、 应用不等式性质求解物理中最值问题

根据不等式性质，当a>0，b>0，c>0时不等式 ，当仅当a=b=c时，不等式取等号；在解题中常发挥奇效。

例5、质量为m的小球与长度L的绳一端相连，绳的另一端固定在O点。将球拉至与O点在同一水平面上由静止释放，球沿圆弧下摆过程中，在何处其竖直方向分速度最大？

解：从动力学上看，球在A点竖直分速度为0，

而最低点B只有水平速度，竖直分速度为0，

所以其下摆过竖直分速度经历了一个

加速和减速过程，中间会有最大值。

设此位置在C点，此时摆绳与OA夹角为α，

与OB夹角为β（如图7）

根据不等式 仅当 时，不等式取等值

五、 应用导数求解物理中最值问题

导数应用价值极高，在解决函数极值，及最值问题要自觉应用导数。

例5也可应用导数知识进行解答

解：由前面分析小球下摆过竖直分速度经历了一个加速和减速过程，中间会有最大值。该点即竖直分速度—时间函数的极值点。

在此，我们归纳例举了应用几何关系、函数关系、三角公式、不等式、导数方法求解物理中最值问题。当然，解决物理最值问题还有许多方法，只要在学习中善于总结，勤于思考，不断提高使用数学工具的能力，就一定能熟练解决物理过程中的最值问题。