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摘要:积分是连续的数学工具,求和是离散的数学工具。积分与求和本质上没有区别,就像一对孪生兄弟,只是适用对象不同,一个用于连续的数学对象――函数,一个用于离散的数学对象――数列。本文总结了求和与积分的若干性质,发现求和与积分的性质是基本平行的,求和的性质一般都可以平行地推广到积分上。
中图分类号:G642.0 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2014)23-0118-02
众所周知,积分是经过分割、近似求和、取极限三个步骤得到的。有人说积分就是一种特殊的求和。积分的英文单词是“integration”,就是结合、一体化、累积的意思。积分是用于函数的数学工具,而求和是用于数列的数学工具。积分是连续的数学工具,求和是离散的数学工具。积分与求和本质上没有区别,就像一对孪生兄弟,只是适用对象不同,一个用于连续的数学对象――函数,一个用于离散的数学对象――数列。
与积分和求和的区别和联系相仿的两外两个数学工具是导数(微分)和差分。导数(微分)是用于函数的,而差分是用于数列的。函数可以存在高阶导数,数列可以存在高阶差分。
定义 数列{ai}的一阶差分为Δai=ai+1-ai,k阶差分为Δkai=Δ(Δk-1ai)
我们把求和与积分的性质对比如下。
性质1 求和的值与下标无关ai=aj=ak
性质1' 定积分的值与积分变量无关f(x)dx=f(t)dt=f(u)du
由性质1和性质1',我们知道求和下标i与积分变量x都是哑变量。
性质2 数乘性kai=kai
性质2' 数乘性kf(x)dx=kf(x)dx
性质3 可加性(ai±bi)=ai±bi
性质3' 可加性(f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx
性质4 区间可加性ai+ai=ai
性质4' 区间可加性f(x)dx+f(x)dx=f(x)dx
性质5
ai≤ai
性质5'
f(x)dx≤f(x)dx
性质6 设M和m分别是数列{a}的最大值和最小值,则nm≤ai≤nM
性质6' 设M和m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则m(b-a)≤f(x)dx≤M(b-a)(a
性质7 设f'(x)在区间[a,b]上连续,则f'(x)dx=f(b)-f(a)
性质7' Δai=an+1-a1
从性质7和性质7',我们可以看到定积分的牛顿――莱布尼茨公式(性质7)平行推广到数列求和的性质7',积分变成了求和,导数f'(x)变成了差分Δai,函数增量f(b)-f(a)变成了数列增量an+1-a1。我们可以看出性质7和性质7',并无本质上的区别,只不过一个是关于函数的性质,一个是关于数列的性质,性质7'的证明非常简单,小学生就可以完成;而性质7(牛顿――莱布尼茨公式)人类到了17世纪才发现,并且由大科学家牛顿、莱布尼茨创立。我们现在能够发现简单的性质7'和相对复杂的性质7并无本质上的区别。我们要从身边简单的对象入手,探索发现科学上复杂的结果。
性质8 分部积分公式u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]-v(x)u'(x)dx
性质8' 分部求和公式aiΔbi=anbn+1-a1b1-Δaibi+1
从性质8和性质8',我们可以看出二者之间也无本质上的区别。积分变成了求和,导数v'(x)变成了差分Δbi,函数增量[u(x)v(x)]变成了数列增量anbn+1-a1b1。
通过上述性质我们发现,积分及求和是普遍联系的。求和具有的性质,积分也有;反过来,积分具有的性质,求和也基本具有。但是,需要我们注意的是,定积分中值性质就不能平行推广到求和。
我们在高等数学教学过程中,就是要经常给同学总结和比较不同数学对象的类似性质,用同学熟悉的求和的性质来对比不熟悉的积分的性质,以便于学生对积分的性质理解和掌握更加到位。
参考文献:
[1]李心灿,季文铎,余任胜,等.大学生数学竞赛试题解析选编[M].北京:机械工业出版社,2011.
[2]谢惠民,恽自求,易法愧,等.数学分析习题课讲义(下册)[M].北京:高等教育出版社,2004.
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.
作者简介:吴楠(1983-),男,河北三河人,博士,讲师,研究方向:主要从事复分析研究。