例析二项式定理的应用

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二项式定理的问题相对独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握. 二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系. 以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本知识的常规考法.

一、求展开式中的指定项和特定项

在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是公式[Tr+1=Crnan-rbr][（0≤r≤n，r∈N*，n∈N*）]的正确应用.

例1 已知在[x3-3x3n]的展开式中，第6项为常数项.

（1）求[n]；

（2）求含[x2]的项的系数；

（3）求展开式所有的有理项.

分析 先根据第6项为常数项，求出[n]的值，再写出其通项公式，根据指定项的特点确定[r]的取值.

解 通项公式为[Tr+1=Crnxn-r3（-3）rx-r3][=（-3）rCrnxn-2r3].

（1）第6项为常数项，

[r=5]时，有[n-2r3=0]，解得[n=10].

（2）令[10-2r3=2]，得[r=12（10-6）=2]，

[x2]项的系数为[C210]（-3）2=405.

（3）由题意知，[10-2r3=2∈Z，0≤r≤10，r∈Z.]

令[10-2r3=k][（k∈Z）]，则[10-2r=3k]，即[r=5-32k]，

[r∈Z]，[k]应为偶数.

[k=2，0，-2]，即[r=2，5，8].

第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为[405x2]，-61236，[295245x-2].

点拨 （1）[（a+b）n]与[（b+a）n]虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，应用二项式定理时，其中的[a]和[b]是不能交换的.（2）通项[Tk+1=Crnan-kbk]是[（a+b）n]的展开式的第[k+1]项，而不是第[k]项，这里[k=0，1，…，n]. （3） 展开式中第[r+1]项的二项式系数与第[r+1]项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错.

二、求展开式中各项系数的和

例2 在[（1x+1x35）n]的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是（ ）

A.330 B.462

C.682 D.792

解析 二项式的展开式的所有项的二项式系数和为[2n]，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等.

[2n-1=1024]，[n=11]，

展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为[C511=C611=462].

答案 B

例3 [（1+ax+by）n]展开式中不含[x]的项的系数绝对值的和为243，不含[y]的项的系数绝对值的和为32，则[a，b，n]的值可能为（ ）

A.[a=2，b=-1，n=5]

B.[a=-2，b=-1，n=6]

C.[a=-1，b=2，n=6]

D.[a=1，b=2，n=5]

解析 不含[x]的项的系数的绝对值为[（1+|b|）n]=243=35，不含[y]的项的系数的绝对值为[（1+|a|）n=32=25]，

[n=5]，[1+|b|=3，1+|a|=2.]

答案 D

点拨 求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1，-1，等.

三、求展开式中系数最大项问题

例3 已知[f（x）=（x23+3x2）n]展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项.

分析 先建立方案求出[n]，再确定所求项. 写通项公式时，由[Tr+1≥Tr，Tr+1≥Tr+2，]得[r=4]，求最大项.

解 （1）令[x=1]，则二项式各项系数和为[f（1）]=[（1+3）n=4n]，

展开式中各项的二项式系数之和为[2n].

由题意知[4n-2n=992].

[（2n）2-2n-992=0]，

[（2n+31）（2n-32）=0]，

[2n=-31]（舍）或[2n=32]，[n=5].

由于[n=5]为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是

[T3=C25（x23）3（3x2）2=90x6，]

[T4=C35（x23）2（3x2）3=270x223.]

（2）展开式的通项为[Tr+1=Cr53r?x23（5+2r）].

假设[Tr+1]项系数最大，则有[Cr53r≥Cr-15?3r-1，Cr53r≥Cr+15?3r-1.]

[5！（5-r）！r！×3≥5！（6-r）！（r-1）！，5！（5-r）！r！≥5！（4-r）！（r-1）！×3.]

[3r≥16-r，15-r≥3r+1.]

[72≤r≤92]，[r∈N]，[r=4].

展开式中系数最大项为[T5=C25x23（3x2）4=][405x263].

点拨 1. 求二项式系数最大的项： 如果[n]是偶数，则中间一项[第[（n2+1）]项]的二项式系数最大； 如果[n]是奇数，则中间两项[第[n+12]项与第[（n+12+1）]项]的二项式系数相等且最大.

2.求展开式系数最大的项，如求[（a+bx）n][（a，b∈R）]的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为[A1，A2，…，An+1]，且第[r]项系数最大，应用[Ar≥Ar-1Ar≥Ar+1]解出[r]来，即得系数最大的项.

1. [（x-y）10]的展开式中，[x7y3]的系数与[x3y7]的系数之和等于 .

2. 已知[（x3+x2）2n]的展开式的二项式系数和比[（3x-1）n]的展开式的二项式系数和大992，求[（2x-1x）2n]的展开式中：

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数的绝对值最大的项.

1. -240

2. （1）[-8064] （2）[-15360x4]