采样定理的分析及应用初探

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇采样定理的分析及应用初探范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘 要】本文分析采样定理的过程及应用，并对采样后丢失的信息将如何恢复作了初步的探讨。

【关键词】Shan 函数；采样；内插；采样定理

0 引言

模拟信号的数字化处理中，首先要对信号进行模数转换。但在模数转换过程中的“采样定理”在一些教科书中只是给出了结论，没有详细的推导过程。要想更深层次地掌握采样定理，透彻了解信号的采样和重建过程，我们必须掌握它的数学推导过程。本文从数学过程上推导采样定理，并对采样定理在实际中的应用作了简单的说明。

1 采样的插值

数字采样一定会某些程度上会造成信息丢失，对连续函数进行采样后，可以用内行恢复。

1.1 Shan函数

在定量的讨论采样的影响前，我们必须建立一种数学手段来对采样过程建模。为了做到这一点，我们使用一个特殊函数叫Shan函数。

Shan函数即为无限冲激串（序列）Ⅲ（X），其定义为：

Ⅲ（X）=■δ（x-n）（1）

图1 频带受限函数

Ⅲ（X）是一个沿X轴相隔单位间距出现的单位幅值序列。其傅立叶变换为本身，即：

F{Ⅲ（X）}=Ⅲ（S）

1.2 使用Shan函数采样

假设函数f（x）的带宽为So，即：

F（s）=0 |S|≥S0（2）

如图1，如果我们以等间距对f（x）采样，则仅在x=nτ处取f（x）的值，在其他地方f（x）被破坏了。我们将取样过程模型化为简单的用Ⅲ（x/τ）乘以函数f（x）而得到采样的函`g（x）。这个过程将采样点之间的函数值设为0，而在采样点的冲激强度保存的函数的值。采样后的函数如图2所示。

1.3 采样定理

因为函数f（x）已被采样，采样点间的信息可能丢失，如果从G（s）得到F（s）即可从g（x）中获得f（x）。要做到这一点，除了保留中心处于原点的那一个外，只需消除F（s）所有的复制品。做到这一点用Ⅲ（s/2s1）去乘G（s）。

其中：s0≤s1≤■-s0（3）

那么：

G（s）・Ⅲ（s/2s1）=F（s）（4）

图2 采样后的函数

即我们以从采样后的信号g（x）的频谱恢复了原先f（x）的频谱，最初的函数：

f（x）=F-1{G（s）・Ⅲ（s/2s1）}（5）

对（5）式右端用卷积定理可得：

f（x）=g（x）・2s1■（6）

只需用采样后的函数与一个形式为sin（x）=sin（x）/x的内插函数做卷积即可。f（x）的频谱必须受限于s0，采样间隔τ和带宽s0必须满足等式（3），采样定理已表明一个间隔t采样的函数可以被完全地采样数据恢复，只要：

τ≤1/2s0（7）

其中：s0是函数的截止频率。

图3 余弦函数及其频谱

1.3.1 采样定理举例

假定函数为：

f（t）=2cos（2πf0t）（8）

其频谱为：

F（s）=δ（s+f0）+δ（s-f0）（9）

如图3，再假定以相等间隔t对f（t）采样，f（t）的周期是1/f。

g（t）=f（t）■Ⅲ（■）

图4 采样余弦函数，情形一

情形一，过采样。假定：

t=■（■）（10）

表明折回频率：

fN=■=2f■（11）

并且我们在f（t）的每个周期对四点采样，图4表示采样后函数及频谱。因为F（s）在高于f之后没有能量，f（t）可以根据采样点完全恢复。

图 5 采样余弦函数，情形二

图 6 采样余弦函数，情形三

情形二，临界采样。假设：t=■（■）

表明折回频率：

fN=f0（12）

并且每个周期采样两点，如图5所示，这里我们所采样的是系统函数的正负峰值点，而函数仍然可以通过内插完全恢复起来，如同情形一。在频域中，相邻复制品的冲激在s=f0合在一起，但内插函数的频域在该点取值1/2，所以函数仍可以无失真地恢复。

情形三，欠采样。我们令：

t=■（■）（13）

即fN=■f0（14）

图6表示这种情况，这里，中心位于s=2fN的频谱复制品的左侧的冲激落在s=f0/2处，它处在0和fN之间，内插时，s=f0的能量混叠到频率f0/2处。图6表明内插如何从采样点拟合一个频率为f0/2的余弦函数。

可见，欠采样情况下，未满足τ≤1/2s0的条件，则会发生混叠。假定τ>2s0，当F（s）被重复复制以形成G（s），各个复制品会重叠的相加在一起。如果我们仍用函数内插，将不能准确地恢复f（x），因为：

G（s）∏（s/2s1）≠F（s）（15）

其混叠形如图7所示。

图7 频域复制区间重叠

图8 用内插

图9 对输入模拟信号的采样

综上几种情况，只有符合τ≤1/2s0的条件，才可能使函数的采样点完全恢复，这就是采样定理。

1.3.2 采样信号的恢复

将g（x）和等式（6）所用的内插函数卷积在效果上等于在每个采样点上复制一个sinx/x函数如图8所示，等式（6）保证了相互重叠的sinx/x函数的总和可准确地恢复原函数。

当s1=1/2τ，如果1/τ>1/2s0时，等式（3）允许在sinx/x函数的频率选择有更大的自由度，将s1设为s0和（1/τ）-s0间的任何值。

设：

s1=1/2τ（16）

则内插函数为：

■■（17）

可见，只有当τ≤1/2s0时，用内插，可将采样后丢失的信息准确地恢复。

1.3.3 采样定理在A/D转换器中的应用。

在A/D转换器中，因为输入的模拟信号在时间上是连续的，而输出的数字信号代码是离散量，所以进行转换时必须在系列选定的瞬间对输入的模拟信号采样，然后将采样值转换出为输出的数字量。

如图9表示采样信号Vs表示模拟信号Vi，必须满足：

fs≥2f1max（18）

其中：fs为采样频率，f1max为信号Vi的最高频率分量的频率。只有满足上式，可以用一定低通滤波将Vs还原为Vi，这个低通滤波器的频率特性在低于f1max的范围内，滤波器的电压传输系数应保持水平，而在fs-f1max以前迅速下降为零。所以采样定理为我们规定了A/D转换的频率下限。

2 结束语

本文通过具体举例来分析采样定理及其应用，对采样定理后丢失的信息该如何恢复作了初步的探讨。但采样对函数频谱的具体影响还需进一步研究。

【参考文献】

[1]高西全，丁玉美，编.数字信号处理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008.

[2]郑君里，等，编.信号与系统[M].北京：高等教育出版社，2000.