求解特征值问题的复合式外推两网格方法
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收稿日期:2009-11-26.
基金项目:广西科学研究与技术开发计划项目（桂科基0731018）.
作者简介:刘寿发（1983-），女，硕士研究生.主要研究方向：偏微分方程数值解.
摘要: 两网格方法与外推方法是求解偏微分方程的有效数值方法.将两网格方法与外推方法结合,构造了一类求解特征值问题的复合式外推两网格方法，可以得到更高精度的求解.数值实验验证了算法的有效性.
关键词: 特征值问题；两网格方法；外推
中图分类号:O242.82
文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)04-0273-02
Extrapolation of the Compound Two-Grid Method for the Eigenvalue Problem
LIU Shoufa，LI Chenliang
(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)
Abstract: The two-grid method and the extrapolation method are effective numerical methods. By combining the two methods, this paper has constructed an extrapolation of the compound two-grid method for solving eigenvalue problems and for more accurate solutions. Numerical tests have proved its efficiency.
Key words: eigenvalue problem；two-grid method；extrapolation
两网格方法，首先由许进超为求解非对称不定问题和非线性问题而构造的一种迭代方法［1］，这种方法的思想是在粗网格直接求解非对称不定问题或非线性问题，而在细网格层转化为求解线性对称正定问题.之后许进超和周爱辉把两网格方法推广到求解特征值问题［2］,文献［3］又把两网格方法推广到非自共轭特征值问题的计算.另外两网格方法还被用于求解半线性反应扩散方程［4］和求解非线性抛物型方程［5］.
Richardson外推是一种简单朴素而又普遍适用的计算方法，通过2次粗细网格上计算的值做线性组合，可获得高精度的外推值，关于外推方法的详细论述可参照文献［6-7］.
文献［8］提出了一种求解广义特征值的瀑布型多重网格方法.本文主要的思想则是结合两网格方法和外推方法，为最细层提供了特征向量初始值，然后利用广义Rayleigh商近似逼近特征值，从而构造一类求解特征值问题的复合式外推两网格方法，算法简单，容易实现，数值实验论证了算法的有效性.
1 模型问题
记L为自共轭椭圆微分算子，考虑如下特征值问题：
u－uj≤chjλ.
由引理1可知，对于模小的特征值，有限元离散后可以得到较好的逼近解，对于模大的特征值及其对应特征函数的计算比较困难.为此，Strang对这个问题做过深入研究，并指出物理上最重要的是前几个小特征值，因此，后面的数值实验我们就通过计算问题（1）的最小特征值来验证本文的算法.
2 复合式外推两网格方法
2.1 求解特征值问题的两网格方法
1）在粗网格层（第j－2层）求如下解特征值问题：
2.3 求解特征值问题的复合式外推两网格方法
结合两网格方法与外推方法，得到下面提出的求解特征值的复合式外推两网格方法：
将第j－1层和第j层的计算结果进行外推后，然后通过适当的插值算子可以得到第j+1的初始值.基于两网格方法的思想，在第j－3层与第j－1层构造一个两网格方法，计算出第j－1层对应的逼近特征向量，然后在第j－2层与第j层构造一个两网格方法，计算出第j层的逼近特征向量（事实上，上述的2个过程是独立的，可以实行并行计算，这样就节省了计算时间），最后将第j－1层和第j层的计算结果外推得到第j+1层逼近特征向量（见图1），然后利用逼近特征向量计算Rayleigh商得到逼近特征值.在算法中，第j－3和第j－2为粗网格层，第j－1层和第j层为相应的细网格层.
下面给出求解特征值问题的复合式外推两网格方法的具体描述.
2.4 算法1求解特征值问题的复合式外推两网格方法
1）在第j－3层与第j－1层构造一个两网格方法，计算出第j－1层逼近特征向量u*j－1;
2）在第j－2层与第j层构造一个两网格方法，计算出第j层逼近特征向量uj;
3用一致三角元将区域Ω进行剖分后，在不同的网格剖分下，表1分别列出了复合式外推两网格方法和两网格方法计算的最小特征值以及其相对误差Err=|λ*j－λ||λ|.从表1中可以观察到，在同等条件下，与两网格方法比较，复合式外推两网格方法计算的特征值有更高的精度.这说明复合式外推两网格方法优于两网格方法.
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