基于向量理论的随机变量分解

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Decomposition of Random Variable Based on Vector Theory

Li Feng；Zhang Tongqi

（Weinan Normal University，Weinan 714000，China）

摘要： 在向量空间理论应用于概率论研究的基础上，讨论了随机变量作为向量的分解问题，得到了随机变量的分解定理，并利用分解定理给出了二维随机变量相关系数的几何意义。

Abstract: In the base of vector space theory applied in probability theory, discuss the problem of the decomposition of random variable, obtain the decomposition theorem of random variable. Furthermore, using the theorem, study the geometric significance of the correlation coefficient of two-dimension random variable.

关键词： 随机变量 期望曲线 相关系数 随机变量的分解

Key words: random variable；expected carve；related coefficient；decompose of random variable

中图分类号：O213.2文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）26-0229-01

0引言

文献[1]通过在概率论中引入“零变量”概念，首次将高等代数中的向量空间理论应用于概率论的研究中，得出一些有意义的结果。本文在此基础上，将随机变量看成向量，在第二节利用文献[2-4]中有关向量分解的定理，得到了随机变量的分解定理。并在第三节中利用得到的分解定理，讨论了二维随机变量相关系数的几何意义，给出了未知分布的情况下，相关系数的一种估计方法。

1随机变量的分解

我们的目的是将（ξ，?浊）中的一个变量表示成另一随机变量的函数与一个性质明确的随机变量之和。

引理[2]1设W是欧氏空间V的一个有限维子空间，存在V的一个子空间W，有V=W?茌W，因而V中的每一向量?浊可唯一表示成?浊=?孜+?灼，这里?孜∈W，

引理2（ξ，?浊）是二维标准正态分布，?渍（x，y）是其联合分布密度函数，则有：①E（E（?浊/ξ））=E（?浊）；②对任一h（?孜）（E（h2（?孜））存在），有E（?浊-E（?浊/?孜））2?燮E（?浊-h（?孜））2；③E（?孜E（?浊/ξ））=?籽?孜n，E（?孜（?浊-E（?浊/ξ））=0。

上述结果说明，当?孜=x时，E（?浊/（ξ=x））是?浊的中心，我们称E（?浊/（ξ=x））为?浊关于?孜的期望曲线。E（?浊/ξ）是所有h（?孜）（E（h2（?孜））存在）中，使得E（?浊-h（?孜））2达到最小。?孜与?浊的相关系数?籽?孜n实际上是?孜与E（?浊/ξ）乘积的均值，?孜与?浊-E（?浊/?孜）不相关。

定理1设（?孜，?浊）是二维标准正态分布，?渍（x，y）是其联合分布密度函数，若满足下列条件：①E（f2（?孜））存在，②?孜与?灼不相关，③?灼的均方误差最小，则?浊可唯一的表示为?浊=f（?孜）+?灼，其中f（?孜）=E（?浊/?孜）。

证明设V[f]=E（?浊-f（?孜））2，其中V[f]是以f（x）为未知函数的泛函。

V[f]=■（y-f（x））■?渍（x，y）dxdy

=■y■?渍（x，y）dxdy-2■yf（x）?渍（x，y）dxdy+■f■（x）?渍（x，y）dxdy

=D（?浊）-2■f（x）■y■dy?渍■（x）dx+■f■（x）?渍■（x）dx

=D（?浊）-2■f（x）E（?浊/（?孜=x））?渍■（x）dx+■f■（x）?渍■（x）dx

由引理1-2，?浊可唯一的表示为?浊=f（?孜）+?灼，需满足V（f）达到最小，且E（?孜?灼）=0。由变分法知识，这是有约束的极值问题，即要求■[f2（x）-2f（x）E（?浊/（?孜=x））+?姿xf（x）]?渍?孜（x）dx达到极小，于是2f（x）-2E（?浊/（?孜=x））+?姿x=0，即f（x）=E（?浊/（?孜=x））-■x；但?籽?孜?浊=E（?孜f（?孜））=E（?孜（E（?浊/?孜）-■?孜））=?籽?孜?浊-■，所以?姿=0。得f（x）=E（?浊/（?孜=x）），f（?孜）=E（?浊/?孜）。又?灼=?浊-f（?孜）=?浊-E（?浊/?孜），且满足①E（?孜?灼）=0，②D（?灼）=E（?浊-E（?浊/?孜））2?燮E（?浊-h（?孜））2，其中h（?孜）是存在二阶矩的?孜的函数。从而?浊可唯一的表示为?浊=E（?浊/?孜）+?灼。证毕。

推论二维标准正态分布（?孜，?浊）中的任一分量，可唯一分解为另一随机变量的具有二阶矩的函数与一个统计学性质好的随机变量?灼之和，其中?灼的性质如下：

①?灼与E（?浊/?孜）不相关（正交）；②E（?灼）=0；③?灼的分布函数F?灼（z）=■?渍（x，y）dxdy，密度函数?渍?灼（z）=■?渍（x，z+E（?浊/?孜=x））dx。

2相关系数的几何意义

令向量函数L（?孜）=a?孜+b，由引理2知，E（?浊/?孜）是所有h（?孜）（E（h2（?孜））存在）中“最靠近”?浊的函数。利用最小二乘法，使得L（?孜）与期望曲线E（?浊/（?孜=x））最接近，得a，b到的最小二乘估计分别为：■=?籽■，■=0。

由随机变量分解定理及相关系数的几何解释，可得以下结论：

①相关系数?籽■是“最靠近”期望曲线（x，E（?浊/（?孜=x））（最小二乘意义下）的直线L（?孜）的斜率，称该直线?浊为关于?孜的回归直线。②由E（?孜E（?浊/?孜））=?籽■知，?孜与n的相关问题即为?孜与f（?孜）=E（?浊/?孜）的相关问题。③在联合分布未知的情况下，寻找相关系数?籽■的估计值■■的新方法。若给定（?孜，?浊）一组样本值（xi，yi）（i=1，2，……n），则■■为使■（axi-yi）2最小的a，得■■=■。

3结束语

在向量理论应用于概率论研究的基础上，将随机变量看成向量，利用向量理论中有关空间向量分解的定理，得到了如下结论：

3.1 二维连续型随机变量（?孜，?浊）中，分量?浊可唯一表示成?浊=E（?浊/?孜）+?灼其中?灼具有好的统计学性质。

3.2 相关系数?籽■是“最靠近”期望曲线（x，E（?浊/?孜=x））的一条直线的斜率，从而在联合分布未知的情况下，得到了?籽■的一种新的估计方法。

参考文献：

[1]张同琦，李凤.向量理论在概率论中的应用[J].科学技术与工程，2010，10（2）：377-379.

[2]张禾瑞，郝柄新.高等代数[M].北京:高等教育出版社，1999：310-318.

[3]刘泽文.相对论热力学向量理论[J].中国科学A辑，1994，（9）：22-26.

[4]刘录新.相对论热力学向量理论的表述及应用[J].大连理工大学学报， 1997，（6）：18-23.