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杨辉三角“六卫星”恒等式的证明及推广

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摘 要:本文介绍了“六卫星”恒等式,即在杨辉三角中围绕着1个数的6个数具有三三相乘积相等的性质,并通过排列组合的方式证明了“六卫星恒等式,为了进一步推广,本文通过使用枚举法,组合杨辉三角中的组合数,使等式两边恒等,从而找到15个恒等式,进而推广为“八卫星”和“十卫星”恒等式。

关键词:“六卫星”恒等式 枚举法 组合数 推广

杨辉三角,又称帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,最早在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书出现,简单的排列却构成了许多美妙的性质,不仅与二项式系数展开式有着紧密的联系,其自身所有的性质也是让人着迷。

一、“六卫星”恒等式

我们从杨辉三角中任取一个“正六边形”,如 ,我们可以发现,1、6、10、1、4、15恰好是围绕着5的六个数,并且在位置上构成了一个正六边形,且1×6×10=1×4×15。这六个数犹如环绕地球的六颗卫星,所以称为“六卫星”恒等式。

二、“六卫星”恒等式证明

我们知道杨辉三角可由二项式展开系数中的组合数来表示。

我们任选一个“正六边形”,“六卫星”恒等式用组合数可以表示为,展开后可得:

通过对比发现,等式确实恒成立,所以这个“六卫星”恒等式的性质得证。

三、“六卫星”恒等式推广

经过刚刚的证明,我们发现n,(n-1),(n+1)与k,(k-1),(k+1)两两组合,使得其差分别为(n-k),(n-k-1),(n-k+1),只要满足该条件,等式就可以成立了。接下来,我们对“六卫星”恒等式更进一步的推广。

现在让n,(n-1),(n+1),(n-2),(n+2)与k,(k-1),(k+1),(k-2),(k+2)进行两两组合,使它们的值差为(n-k),(n-k-1),(n-k-1),(n-k-2),(n-k+2)。我们将其进行进一步的简化,设X={-2,-1,0,1,2},Y={-2,-1,0,1,2},Z={-2,-1,0,1,2},作双射f∶x+y=z,其中x∈X,y∈Y,z∈Z。通过枚举法,我们可以得到一些组合,仅举两组为例:

由所得结果,我们可以得到一下恒等式:

通过对比五个恒等式,我们可以得到12种两边各有四项的恒等式,如:

还有3种两边各有五项恒等式,如:

从而,我们就可以推出“八卫星”恒等式和“十卫星”恒等式。

以等式为例,我们就可以看到在 中,5×6×35×56=4×10×70×21=58800,由此可见,我们的“八卫星”恒等式成立。

我们可以通过该方法对“n卫星”进行更深的探索,感兴趣的读者可以自行证明。