“长方体认识教学研究”校本教研活动方案

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一、 活动目标

1． 教师经历阅读、思考、解答并与同事交流有关长方体教学研究的相关资料的过程。

2． 教师能够明确长方体概念的严格定义，并知道长方体的相关概念及其关系。

3． 教师能够比较不同的教学导入方式，并形成自己的导入方式。

４. 教师能够提升自己对长方体特征教学的能力。

二、 活动内容、形式与时间

1． 数学组教师独立解答长方体认识的相关问题，并与同事交流；独立解答时间约2小时，交流时间约1小时。

2． 教研组确定一位教师上一节教研课，其他教师听课后评课。听课时间约40分钟，评课与交流时间约1小时。

可以根据学校教研活动的时间和教研组教师的情况，选择下面“活动前准备”中的一些问题进行解答与交流。

三、 活动前准备

解答下面的问题，并准备交流。

一

1． 请你先阅读下面一些概念的定义，体会这些概念之间的逻辑关系，感受数学的严密性，并解决相应的问题。

（1） 观察图1，想一想，哪几个图形是多面体？如果要给多面体下定义，应该怎么表达？对多面体的“组成元素”（顶点、棱、面）又该如何定义？

读一读下面的定义，体会这些数学概念的本质属性。

①由几个多边形围成封闭的几何体叫做多面体。

②围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。

③相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。

④若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。

想一想，在平面内，多边形边数最少是几边形？在空间中，多面体面数最少是几面体？

（２） 观察图2，想一想，哪几个多面体是棱柱？如果要给棱柱下定义，应该如何表达？

读一读下面关于棱柱的定义，想一想，棱柱的本质属性是什么？

有两个面互相平行，其余每相邻两个面的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱。这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

（3） 观察图3，想一想，什么叫斜棱柱？什么叫直棱柱？

先阅读下面的定义，再判断图3中哪个是三棱柱，哪个是正棱柱。

侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。棱柱的底面可以是三角形、四边形等，这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱等。

（4） 观察图4，想一想，什么叫平行六面体？斜平行六面体、直平行六面体、长方体和正方体各是怎么定义的？

先阅读下面这些概念的定义，再画一个集合图来说明这些概念之间的相互关系。

底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体。其中，侧棱与底面斜交的叫斜平行六面体。侧棱和底面垂直的叫做直平行六面体。底面是长方形的直平行六面体叫做长方体。棱长都相等的长方体叫做正方体。

2． 一般的教材中，通常把长方体的特征描述为：“长方体有6个面，且都是长方形，相对的两个面完全相同；长方体有12条棱，并可以平均分成三组，每一组4条棱的长度相等。长方体有8个顶点。”看了这些特征后，你能否确认这一定是底面为长方形的直平行六面体？为什么？

3． 现行人教版教材五下第28页中，有这样的描述：“长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。……”想一想，上面括号里的这句话是否正确？为什么？在特殊情况下，这6个长方形中，三个面是正方形是否有可能？四个、五个或六个面是正方形是否有可能呢？为什么？如果除了两个面是正方形这种特殊情况外，还存在其他的特殊情况，是否也需要在括号里加以说明呢？为什么？

二

1． 现行的各版本教材中，认识长方体、正方体（立方体）一般分为两个阶段：在一年级或二年级时，初步认识长方体、正方体；在五年级或六年级时，对长方体、正方体作进一步的认识。你觉得前后两次“认识长方体、正方体”在教学目标上有什么不同？

2． 教师在引导学生得到长方体的特征时，一般是从顶点的个数、棱的条数与长短、面的形状与大小这三方面来把握。你认为在教学时，教师是应该引导学生先研究顶点，再研究棱，最后研究面？还是应该从面的研究开始？为什么？

3． 如果在“长方体认识”这节课的开头，设计以下导入环节：教师依次拿出事先准备好的各种长方体形状的实物，并与学生进行以下交流：师（手拿魔方）：这是什么东西？用什么材料做成的？生：这是魔方，是塑料做的。师（手拿盛药的纸盒）：这是什么东西？是用什么材料做的？是什么颜色的？生：这是盛药的盒子，是用纸板做的，白色的。教师继续拿出铁皮做的红色饼干箱，玻璃做的透明的鱼缸等实物。通过上述交流教师想让学生明确这些东西在用途、材料、颜色等方面的不同。接着教师提出：这些东西有许多不同的地方，想一想，它们有什么共同的地方呢？从而让学生得出：这些东西的样子都是方形的，形状都是长方体。最后教师导出课题：认识长方体。

对于上面引入的教育价值，甲、乙两人有不同的观点，甲认为：这个导入过程很不好，东西的用途、颜色、材料都不是数学要研究的，教师没有必要引导学生关注这些非数学的内容，这是在浪费时间。应该开门见山问学生：这些东西是什么形状的，直接导出要研究的内容。而乙认为：这是一个很好的导入过程。教师先引导学生关注这些现实生活中的实物，包括它们的用途、材料、颜色等。在此基础上，引导学生关注这些物体的共同点，从形状的角度去发现共性，这正是从数学的角度去观察这些物体，这个过程能够让学生感受什么是数学的视角。

你认为这是一个好的导入过程吗？甲、乙两人的观点，哪一个更有道理？为什么？

4． 如果在教学长方体的认识时，设计下面的导入环节：教师在黑板上事先画好一个长方形和一个长方体，并指着长方形与长方体问学生：

（１） 它们分别叫什么名字？学生可能回答：分别叫长方形和长方体。

（２） 这两个图形有什么不同？学生可能回答：长方形是平面图形，长方体是立体图形；长方形只有一个长方形，长方体中有六个长方形；长方形只有一个面，长方体有六个面。

（３） 长方形的特征是什么？学生可能的回答：长方形的对边相等，四个角都是直角。

今天这节课我们要研究长方体的特征。教师板书：认识长方体。

你喜欢上面这个导入吗？这样的导入有什么优点？

5． 在教学长方体面的特征时，可以让学生：摸一摸每一个面；看一看面的形状；数一数面的个数；比一比面的大小。

（１） 在数面的个数时，教师常常引导学生按照“上面，下面；前面，后面；左面，右面”这样的顺序数。想一想，按照这样的顺序数，有什么优点？

（２） 在比一比面的大小时，你怎样引导学生得出：相对的两个面的大小相等？

以下是两个引导学生得出“相对的两个面的大小相等”的过程，这两个引导过程各有什么特点？你更喜欢哪一个过程？为什么？

引导过程一：①教师拿出事先做好的一个长方体模型，先让学生指一指哪两个面可能是相等的。当指出上面与下面相等时，教师将教具模型中的这两个面（纸板）剥下来（撕下来），并把这两个面重叠在一起，让学生看到这两个面完全重合，从而得到上面与下面这两个相对的面相等。前面与后面、左面与右面也作类似的操作。②用电脑课件演示：将上面这个面向下移动与下面这个面重合。其他面也作类似操作。

引导过程二：①教师拿出事先准备好的长方体模型，告诉学生上面的这个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，即面积是一个6×4（平方厘米）的长方形，那么，想一想，在长方体的其他面中，也有面积为6×4（平方厘米）这样大小的长方形吗？为什么？让学生运用长方形对边相等，得到下面这个长方形的面积也是6×4（平方厘米）的。教师进一步假设前面的这个面是面积为4×3平方厘米的长方形，同样让学生运用长方形的特征说明前面与后面、左面与右面的大小也相等（见图5）。② 教师出示长方体的模型，并在顶点标上字母（见图6），让学生说一说哪两个面的大小相等，为什么？

引导学生表达：上面这个长方形AEFB与下面这个长方形DHGC大小相等。这是因为左、右两个面都是长方形，根据长方形的特征，它们的对边相等，所以得到AE=DH，BF=CG；根据前、后两个面都是长方形同样可以得到AB=DC，EF=HG。所以上下两个面大小完全一样。同样道理可以说明前后、左右面的大小也分别相等。（在研究了棱的特征以后，学生已经明确了长方体有12条棱，分成三组，每组的四条棱长度相等。也可以用棱的特征来说明相对面的大小相等。）

6． 在学生初步认识长方体面的特征后，教师设计以下教学环节，你觉得这样的教学过程有什么价值？

教师出示一个面积为4×3（平方分米）的长方形实物纸片，问：如果这是长方体的一个面，那么你可以知道什么？

学生可能会说：可以知道还需要五个面才能做成长方体；如果把这个面作为前面，那么这个长方体的后面也是面积为4×3（平方分米）的一个长方形。

师：你还能想象出其他面的样子与大小吗？

学生可能会说：其他面的形状都是长方形，但大小不知道。如果这个面是前面，那么左右两个面是相等的，两个长方形都有一条边长是3分米；上、下两个面都有一条边长是4分米（见图7）。

师：确定长方体的一个面，这个长方体的其他面能够完全确定吗？为什么？

生：不能，如果这个4×3的面是前面，那么与它一样大小的后面这个面可以离它近一点，也可以离它远一点。（教师根据学生的回答出示图8）

师：确定一个面的大小，不能确定这个长方体其他面的大小，那么确定两个面、三个面……六个面呢？至少要确定几个面呢？

引导学生得出：至少要两个相邻的面（相邻的面就是有一条公共边的两个面）。出示图9，确定前面的面积是4×3，确定上面的面积是6×4，这样就可以确定长方体的其他四个面，长方体的大小就完全确定。

7．在北师大版教材五下年级第15页有这么一道题目：

凭你的经验，在学生学习了长方体面的特征后，大约有多少学生能够独立地解决这个问题？在上面题目中，如果不给题目中的这个长方体图形，学生也能够解决这个问题吗？有图与没有图这两个题的难度哪一个大？为什么？如果有部分学生在没有图时，就不能解决这个问题，那么，这些学生的困难是什么？

8． 在学生认识了顶点、面和棱后，教材常常会安排让学生用材料来做一个长方体的模型。浙教版教材五下年级第91页中，在学生做长方体的模型之前，提出了以下的制作要求：用小圆球（顶点）和四种不同长度的小棒（棱）（分别以A，B，C，D表示），制作长方体、立方体模型的框架。①每组制作两个长方体框架，其中一个是正方体框架；②制作前先小组讨论填好领料单；③按照领料单领取材料；④制作完成后，讨论棱和顶点各有什么特点。如果材料不够或有多余请说明原因。

你觉得让学生在制作前先填写领料单，有什么好处？制作后说明材料的情况，又有什么好处？

9． 在认识长方体时，需要学生认识长、宽、高的含义。如果你去上这节课，你会通过什么途径让学生认识长、宽和高？

请你先阅读以下的教学过程，再回答问题。

教师出示一个还没有制作完成的长方体的模型框架（见图10）。

接着教师问学生：如果让你来进一步完成制作，那么你还要几根小棒（棱）？这些小棒的长度分别与已经搭好的哪几根小棒（棱）的长度相等？

学生通过观察、想象得出还要5根小棒，其中，与AB一样长的两根，与AD一样长的也是两根，与AE一样长的一根。同时教师选出相应小棒并作继续制作的演示。

师（指着图10）：这个还没有完成的模型已经有了7条棱，我们就可以确定其他棱的长度，从而来确定这个长方体。那么，没有完成的模型不到7条棱，比如是6条、5条时，我们也能完成继续制作一个长方体框架的任务吗？

学生进一步观察、想象，可能先会考虑到：由于AE=DH=CG，所以，去掉其中的任意两根小棒（棱），留下一根小棒（棱），就可以确定这个方向上的小棒（棱）的长度（如图11所示，在这三根中，只留下了AE，这样就只有5条棱了，也能够确定这个长方体的大小）。进一步考虑留下4条、3条、2条、1条。从而发现：最少需要留下相交于同一个顶点的三条棱，这样才能够确定这个长方体的大小。把必须的相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高（见图12）。

师：前面我们研究过，如果有两个相邻的面确定了，这个长方体就确定了。现在我们又知道，相交于同一个顶点的三条棱确定了，这个长方体就确定了。请想一想，这两种“确定”之间有什么关系？让学生得出两者实质是可以相互确定的。也就是确定了长、宽、高就可以确定两个相邻面的大小，相反确定了两个相邻面的大小，也就是确定了长、宽、高。

问题：

（１） 这样的教学过程有利于学生理解长、宽、高的含义吗？为什么？

（２） 这样的教学过程有利于学生理解长方体的面与棱在确定长方体大小时的关系吗？为什么？

（3） 这样的教学过程有利于培养学生的空间观念吗？为什么？

1０． 当研究了长方体的面、棱与顶点后，要求学生对这三个方面进行归纳，在归纳时，有些教师会给学生提供类似于下面这样的表格。

你认为如果教师不提供给学生表格，学生在归纳时，能够画出类似这样的表格吗？教师提供表格或者不提供表格各有什么好处与不足？

（以上活动方案中问题的相应参考答案略）

（浙江省杭州市上城区教育学院 310006）