关于不定方程

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摘 要：利用同余法，递归数列法，pell方程相关理论解决了特殊不定方程的整数解。

关键词：三次不定方程 整数解 pell方程

中图分类号：O156.2 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）02（a）-0213-01

关于不定方程（，且不含平方因子）D中不含有型素因子时已有了很多研究成果。当含有型素因子时方程求解困难。1991年曹玉书研究了方程中含有型素因子的情况[1]。罗明1995年解决了方程的整数解的问题[2]。本文证明了下列结论：

定理1 不定方程仅有整数解

定理2 不定方程仅有平凡解

引理1[3] 不定方程仅有整数解，。

引理2[4] 不定方程仅有平凡解。

定理1的证明：当时有，方程两边同时除以125得令可得由引理1可知，或者即或者。

因为所以（1）有以下两种情形：

情形①

情形②

对于情形①中式可得：即通过因式分解可解得经验证只有当是原方程的解。

对于情形②由后式可得：将前式带入可得：，借助工具Mathematica及pell方程相关理论，可得方程的全部解又以下两个类给出：

其中是方程的最小正数解，是pell方程的基本解。由F-L与不定方程的关系易得：

由③可知又所以与⑴矛盾所以无解：同理可得④无解：定理1证毕。

定理2的证明：当时有，得令可得由引理2可知无正整数解。

当5不整除时，原方程化为 （2）

因为所以（2）有以下两种情形：

情形⑤

情形⑥

对于情形⑤可得可得

由⑨可知又所以与（2）矛盾所以无解：同理可得⑩无解。

情形⑥后式可得即通过分解因式可得经验证无解。同理可得⑦式无解。定理证毕。

参考文献

[1] 曹玉书.关于丢番图方程[J].黑龙江大学自然科学学报，1991（1）：18-21.

[2] 罗明.关于不定方程[J].重庆师范学院学报.自然科学版），1995（3）：29-31.

[3] 倪谷炎.关于不定方程[J][J].哈尔滨师范大学自然科学学报，1999（3）：13-15.

[4] 倪谷炎.关于不定方程[J].国防科技大学学报，1999（5）：109-111.

[5] 周持中.斐波那契—— 卢卡斯序列及其应用[M].湖南科学技术出版发行社，1993：280-289.

[6] 柯召，孙琦.谈谈不定方程[M].哈尔滨工业大学出版社，2011，20-28.