回归本质,看立体几何如何求新

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立体几何历来是高考改革的一块试验田，随着高考改革的不断深入，独具匠心的立体几何试题层出不穷，常令人目不暇接、望“题”兴叹. 为了让莘莘学子摸清立体几何创新题的命题规律，本刊试题研究组的老师们精选了5道别具一格的立体几何试题.

1. 如图1，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S■，S■，S■，则可知S■，S■，S■的大小关系为________.

2. 圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图2所示），则球的半径是__________cm.

3. 若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形的面积之比为：■=■·■. 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2与点Q1，Q2和R1，R2，则类似的结论为：_______.

4. 如图3所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，已知PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.

（1）求证：CC1MN；

（2）在任意DEF中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EFcos∠DFE. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

5. 如图4，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连结AB，沿AD将ABD折起，使∠BDC=90°（如图5所示）.

（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大？

（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小.

6. （1）给出两块相同的正三角形纸片（如图6，如图7），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图6、图7中，并作简要说明.

（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小.

（3）如果给出的一块任意三角形的纸片（如图8），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图8中，并作简要说明.

1. 通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3，得S3

2. 设球的半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×■πr3+πr2×8=πr2×6r，解得r=4.

3. 显然这是平面图形与立体图形的类比. 可猜想平面的面积与三棱锥的体积相类比.故猜想■=■·■·■.

4. （1）因为PMBB1，PNBB1，所以BB1平面PMN，所以BB1MN.又CC1∥BB1，所以CC1MN.

（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S■■=S■■+S■■-2S■S■·cosα. 其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.

因为CC1平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP. 在PMN中，因为PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP，所以PM2·CC■■=PN2·CC■■+MN2·CC■■-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，由于S■=PN·CC1，S■=MN·CC1，S■=PM·BB1=PM·CC1，所以S■■=S■■+S■■-2S■·S■cosα.

5. （1）法1：在如图4所示的ABC中，设BD=x（0

法2：同法1，得VA-BCD=■AD·SBCD=■（3-x）·■x（3-x）=■（x3-6x2+9x）. 令f（x）=■（x3-6x2+9x），由f ′（x）=■（x-1）（x-3）=0，且0

（2）以D为原点，建立如图9所示的空间直角坐标系D-xyz.

6. （1）如图10，沿正三角形三边的中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；又如图11，设正三角形ABC，O为ABC的中心，作ODBC，OEAC，OFAB，垂足依次为D，E，F；过OD，OE，OF的中点分别作BC，CA，AB的平行线，交于A′，B′，C′；过A′作AB，AC的垂线A′N，A′M；过B′作AB，BC的垂线B′P，B′Q；过C′作BC，AC的垂线C′R，C′S. 由此得到，正三角形A′B′C′，并且四边形ANA′M，BQB′P，CSC′R可拼成一个正三角形，以这两个正三角形为正三棱柱的上、下底，以矩形A′NPB′，B′QRC′，C′SMA′为侧面构成一个正三棱柱.

（2）设给出的正三角形纸片的边长为2. 那么，正三棱锥和正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为■，再计算它们的高. 设正三棱锥和正三棱柱的高依次为h1，h2，体积依次为V1，V2.

V2-V1=■·h2-■·■·h1=■>0，所以V2>V1，即正三棱柱的体积大于正三棱锥的体积.

（3）如图12，仿（1）中正三棱柱的作法，可作出直三棱柱.