谈谈波动的多解性

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波动问题的多解性，是中学物理中的一个难点，也是历年高考的热点，同学们往往感到头绪多，思路乱，为帮助同学们清理思路，掌握一般规律，现就本问题归纳如下以供参考：

1 波传播方向的不确定引起多解

对于沿直线传播的机械波，若其传播方向不确定或质点振动方向不确定就会出现多解，解答时应对两种可能方向进行讨论以得完整解。

例1 图1为一列沿x方向传播的简谐横波某时刻的波形图，图中P为波传播方向上的一质点，此时刻P恰好经过平衡位置。已知其振动周期T=0.4s，求至少经过多长时间质点P到波峰。

解析 由于题中未告知波的传播方向，故波的传播方向就有两种可能。（1）若波沿x正向传播，即P质点该时刻正向上振动，则P到达波峰至少需时间t=T4=0.1s;(2)若波x负向传播即P质点正向下振动，则P到达波峰至少需时间t=3T4=0.3s。

2 波的周期性引起多解

机械波在均匀介质中传播时，具有时间和空间上的周期性。其传播时间t=nT+Δt，对应时间t其空间传播距离x=nλ+Δx。式中T、λ分别为波的周期和波长，Δt、Δx分别为小于一个周期的时间和传播距离，n=0，1，2，3……的整。解题时，应十分注意机械波的周期性，写出传播距离和传播时间的一般表达式，从而得到完整的解。

例2 如图2为一列沿x轴正方向传播的简谐横波，实线表示某时刻的波形图线，虚线表示经过时间t的波形图线。已知波长为λ，试求波速。

解析 此题未给定时间t内波传播距离，由实线波形和虚线波形比较可知，在时间t内波向x正向传播距离x=nλ+14λ 故可求出波速的一个通解：v=xt=(4n+1)λ4t(n=0，1，2…)

由例1、例2的解析中同学们不难看出：例1所求问题中若取消“至少”二字的限制，由于波的周期性应得到两组通解t=(n+14)T和t=(n+34)T(n=0，1，2…)；例2原题中若将“…沿x正方向传播…”中的“正”字取消，同样还应有另一组通解不能遗漏，即v=(4n+3)λ4t(n=0，1，2…)

3 两质点间波形不确定引起多解

若已知波上两个质点在某时刻的位置，而其间波形又具不确定性，解题时应考虑出各种可能波形，从而得到完整的解。

例3 一列简谐横波沿水平直线向右传播，M、N为介质中相距为S的两质点，M在左、N在右，某时刻M、N两质点正好振动经过平衡位置，而且MN间只有一个波峰，经过时间t，N质点恰好处在波峰位置，求这列波的波速。

解析 经分析可知，某时刻M、N间仅有一个波峰的波形有四种可能如图3所示。设该波长为λ，周期为T，由图知两质点间距离S可能为λ2（图a），或λ（图b、c），或3λ2（图d）。

对a情形；依据波向右传播，该时刻N质点正经过平衡位置向上振动，已知N经过时间t到达波峰位置，则t又可能为T4，5T4，9T4…即t=(n+14)T(n=0，1，2…)，由v=λT并考虑到λ=2S可得：

v=(4n+1)S2t(n=0，1，2…)

对b情形：依据波向右传播，该时刻N质点正经过平衡位置向下振动，N经过时间t到达波峰位置，则t=(n+34)T，结合v=λT及λ=S可得：

v=(4n+3)S4t(n=0，1，2…)

同理对情形c和d分析求解可得：

c：v=(4n+1)S4t(n=0，1，2…)

d：v=(4n+3)S6t（n=0，1，2…）

由此，我们看到该题的解应为四组通解。本例中若将原题“……向右传播”改为“向左传播”或取消题中“向右”二字的情况怎样，请同学们自己思考。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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