在犯错、纠错中感悟数学

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作为一名数学老师，我一直觉得非常疑惑：有时候自己认为讲了无数遍的概念，公式，题目，学生转眼就忘；有时候我盯着他们完成的一些题目到了第二天换个面孔出现他们又不会了，他们到底怎么了？利用课余时间我也找过一些同学谈心了解情况，我发现：对于大部分学生而言，他们学习数学的方法仍习惯于上课不停地做笔记，只要能把我的板书一字不漏的抄到笔记本上去就算完成任务，而且已经算很有收获了。老师讲学生听，已经使学生造成对老师非常大的依赖性，老师一讲我就懂，自己一做就不会的怪现象根源于此。

那么如何使大家都能从这样的一种现状中摆脱出来呢？由世界著名教学教育权威弗赖登塔尔提出的“再创造”理论，据说目前已被视为数学教学方法的核心。其实质就是在数学教学过程中由学生自己去发现并解决问题，甚至总结和归纳出各种运算法则和各种定律。如果能做到让学生自己发现+自己归纳+自己总结，那我的教学不就成功了吗？教师如何组织教学？引导学生进行自主学习，发现知识，进行探究，以获得新知识呢？以下谈谈我在教学中的一次尝试：

案例：已知函数满足，，（1）求a，b的取值范围（2）求的取值范围。课堂片段：（学生展示完成结果）

学生1解：

由：得：

由得：，得

由得：

学生2： 由得：，得

学生3： 由得：

由得：

所以

教师：以上用了三种方法求得b有三个不同的结果，你认为哪个是正确的，为什么？（让学生小组讨论）

学生：解法3的结果是正确的，根据条件画出图形就可以看出来。（图形如下）

教师：不错！数与形结合，问题很直观。那能用图形解释解法1和解法2为什么错了吗？

对刚刚学生的回答，大家都很满意，正有点欣欣然的时候，又陷入对后一问题的思考，气氛又安静了下来。

学生：解法1中 b满足用图形表示如右：

解法2同理b满足图形如下：显然两个图中的b的取值扩大了。

学生：鼓掌（对这个回答，好多学生是恍然大悟的感觉，掌声很热烈。）

教师：解释得太完美了！条件中的a，b是有关系的，所以不能单独用a或b的范围去求另一个量的范围。如何求f（-2）范围？

学生甲：

由不等式组得点（a，b）的平面区域，

设，可化为，直线越往上移，

z越大。所以由图可知当直线过点A时z

最小，当直线过点B时z最大。

教师：我给一种解，如下：

解： 所以

因为，所以

所以

教师：你赞成哪个解法？

学生：赞成学生甲

教师：那我的错在哪了？

学生：从解题中可以得到时， f（-2）=3而此时不满足条件，所以你的结论是错的。

教师：很不错，从我的解题中找到了一个不满足的解，从而否定了我的结论。

教师：还有其他解释吗？

学生：你在解的时候将可行域给扩大了？画图：

当f（-2）=4a-2b过点E时，f（-2）最小=3，过点F时，f（-2）最大=12

教师：a和b不是相互独立的关系，而是有不等式组决定的相互制约的关系，a取最大（小）值时，b并不能同时取到最大（小）值，所以我所给的方法取值范围比实际的要大，若保持a和b的相互制约关系，得出的结论就正确了。

教师：用代数方法，怎样保持这种制约关系，使求得的解正确？

学生1：4a-2b=（a+b）+3（a-b）

教师：（a+b）和（a-b）前面的系数怎么弄出来的？

学生1：凑出来的

教师：对数字的感觉很好，有方法求吗？

学生2：设4a-2b=m（a+b）+n（a-b）

所以m=1，n=3

教师：这也就是我们所说的“待定系数法”。这问题也圆满地解决了。

建构主义指出：数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程，也就是说数学知识必须基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构。从而有效地让学生领悟数学思想和数学方法，启发学生积极思维，引导学生自己探索、发现新知识。探究性的教学方法有助于建立和谐的师生关系。教师有更多的时间去了解学生的想法，对学生在某一知识点处的认识有大致的了解，可以给学生对自己的想法进行反思提供方向。教师不断地在组织学习活动时，对学生的学习方法加以指导，千方百计地激发学生学习的兴趣，及时准确地评价学习效果，学生的学习活动不再孤立，教师不再游离于学生的学习活动之外，而是积极主动地参与其中。