古典概型及几何概型的教后反思

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概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，古典概率与几何概率是概率论研究的基本问题之一，古典概型为概率论的发展起着重要的作用，但古典概率讨论的对象局限于随机试验中所有可能结果的有限性和等可能性，为解决一类“随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能”的问题，人们引入了几何概率模型，并应用几何图形的测度来解决几何概率模型的计算问题．在《高中数学课程标准（试验）》中，古典概率和几何概率安排在高中数学必修③，本文着重谈个人在该模块教学中的感悟与体会．

一、古典概率

在高中必修③古典概型问题的教学时，大多数学生具备了初中的概率知识，对古典概率模型及概率计算公式有着初浅的感性认知，因此，古典概率问题的教学难点并不在于概念的理念，而在于对“基本事件”的理解．

例1．一盒装有标号为1，2，…，5的5张标签，求下列事件中的基本事件．（1）一次性取出两张标签；（2）先取出一张标签并记录其序号后（不放回），再取出一张标签并记录其序号；（3）先从盒子中取出一张标签并记录其序号后放回，再从盒子中取出一张标签并记录其序号．

评析：本例是必修③（人教A版）134页A组 第5题的改造题，在问题的解决过程中，着力研究在具体问题中，如何正确理解“古典概率模型”和“基本事件”．问题（1）中标签的选取是“无序”且“不重复”的；问题（2）中标签的选取是“有序”且“不重复”的；问题（3）中标签的选取是“有序”且“可重复”的．三个问题中所包含的基本事件如下表所示：

常用列举法研究研究古典概率问题中所包含的基本事件数，为了避免出现计数失误，我们经常按照数据的规律顺序进行列举，有时也使用列表、树形图等辅助列举计数．

变式题：一盒装有标号为1，2，…，5的5张标签，先从盒子中取出一张标签并记录其序号后放回，再从盒子中取出一张标签并记录其序号，求两张标签上的数字和为6的概率．

思路1．仿例1（3），不难得到所求概率为 ．

思路2．取出的两张标签的数字之和，最小2，最大10，因此，“取出的两张标签上的数字之和”包含事件“2，3，4，5，6，7，8，9，10”，所以所求概率为 ．

不同思路，得到不同的结果，究其原因，就在于对古典概率模型的理解了，思路1中，把基本事件找分成表（3）所示的25种情况，是符合古典概率的原理的，把变式题中概率模型中的事件按思路2划分成“2，3，4，5，6，7，8，9，10” 共9个事件是可行的（符合不重复且不遣漏的原则），但这9个事件并不能作为“基本事件”，这是因为事件“2”中包含（1，1）这1个基本事件；事件“3”中包含（1，2）和（2，1）这2个基本事件；事件“4”中包含（1，3），（2，2），（3，1）这3个基本事件；…．因此，思路2中事件的划分不具备古典概率模型中基本事件的“等可能性”的要求．正是因为这一原因，例1（3）的基本事件数不能列举成如右表所示．

古典概率模型的最基本的特性就是“有限性”和“等可能性”．

二、几何概率

当所研究的概率问题中，基本事件的总数有无限个（且具备等可能性）时，就不能使用古典概率模型的知识与方法．这类问题往往需引入几何图形，进而使用几何图形的测度来计算其概率（几何概率）．

例2．假如你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30~7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：30~8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？

评析：本例是必修③（人教A版）第137页 例2，问题解决的关键在于“设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为y”之后，引入几何图形对x，y以及它们的范围作出合理的几何解析．

例3．如图，在 中,∠ABC=300,， BC=6，在 内任作射线AD交边BC于点D，求 为锐角的概率．

在 中,由∠ABC=300,， BC=6，可判定 为等腰三角形（AB=AC）．

由于平面图形中点、直线的无限性，因此本题应考虑使用几何概率模型求解．

思路1：使用“线段长”为几何概率模型的测度．

如图，过A作AEAB，交BC于点E．

在 中，可求得BE=4．

因为当点D在线段AE（不含两端点）时， 为锐角，所以所求概率 ．

思路2：使用“角”作为几何概率模型的测度．因为 ，所以所求概率 ．

思路3：使用“面积”作为几何概率模型的测度．在 内作取一点F，连结AF，记AF的延长线与BC的交点为D．要使 为锐角，须且只须点F在 的内部，因此，所求概率 ．

面对不同的答案，到底是哪一种错了呢？究其原因，还在于对概率模型的理解．在原问题中，“过点A任作射线AD”，表明“射线AD”的作法上具备了“等可能性”，而使用选取点D或选取点F的方法，其等可能性就受到质疑（实际上，即使具备等可能性也须经过证明两者等价后才能使用，否则仍应判定为解答错误）．

几何概型有两个重要特征：即基本事件的“无限性”和“等可能性”．与古典概型相比，几何概率模型的求解需要以“等可能性”为标准寻找合适的几何图形并计算其测度，也就是找准基本事件对应的区域的类型，如果理解不透题意，找不准测度类型就会出现错误．

总之，我们要促使学生能更好的自我学习、自我探究、自我提升，就需要引导学生分析问题的属性特征，把握数学知识的本质．而教师在日常的解题教学中，就需要经历不断反思、总结和归纳的过程，以达到能通过一个问题的解决来解决一类问题的目标，从而在教学工作中达到事半功倍的目标，进而深化学生的理性思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，促进学生创新思维能力的提高．