浅谈数学课不等式教学感悟

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摘要 数学教材中不等式单元在中学数学中占有极其重要的地位。虽然不等式单元知识点只有五个，但由于它的地位重要，故一直是历届高考考查的重点，为使同行能在教学中更好地把握住教材的重点和难点，

关键词 数学课堂不等式教学概念解法

在高中数学教学中，不等式单元在中学数学中占有极其重要的地位。虽然不等式单元知识点只有五个，但由于它的地位重要，故一直是历届高考考查的重点，为使同行能在教学中更好地把握住教材的重点和难点，结合从教数年来的教学实践，浅谈在不等式教学中应注意的一些问题。

一、关于不等式的概念？

在初中阶段我们学习了和不等式有关的一些概念。不等式的定义通常是从两方面来进行的：一是采用描述性的定义：表示不等关系的式子，叫做不等式。另一种定义是：用不等号连接起来的式子叫做不等式。不难理解，这两种定义在本质上是一致的。

二、关于不等式的解法

在教学不等式的解法时首先应强调不等式的同解原理，使学生在解不等式的过程中使每一步都和原不等式同解。这样便可避免产生增根和失根。教学一元二次不等式的解法时教师必须自始至终密切联系二次函数的图象，采用数形结合的方法，形象直观，易于理解和掌握。

关于分式不等式及高次不等式的教学，首先给学生强调解分式不等式的思想，便是去分母后将其化成与之等价的（或是同解的）整式不等式，这里学生极易出现的错误是将不等式两边同时乘以分母而去掉分母，此处应给学生指明在不等式中，由于不知道是g（x）大于0还是小于0，因此不能这样去分母，为避免出现这种情况，可以两边同时乘以g2（x），（g（x）在分母上，故不等于0），将原分式不等式化成与之同解的整式不等式f（x）g（x）＞0（或＜0），在教学整式不等式的解法，笔者认为可以采用“数轴标根法”进行教学，该方法由贵州蒋庭瑜1979年提出后在美国中数界产生强烈反响，美国数学教师曾强烈要求将该方法编入中学数学教材，以取代传统的符号讨论法解不等式。数轴标根法最初并没有引起我国教育工作者的重视，直到在美国产生较大影响后，我国《数学通报》1987年再次发表蒋庭瑜的该论文，由此才在我国数学教育界引进重视。目前用数轴标根法解不等式在我国中学数学教师中几乎无人不晓。而且由于他的确具有形象直观，易于掌握且不易出错的特点，所以教师在教学中可采用此方法，从而避开烦杂的符号讨论，不失为一种好方法。

无理不等式的解法既是重点，又是难点，学生往往在将其转化为与之同解的不等式组时感到困难。教师在教学中一定要给学生通过分析指出错误的原因所在，力求避免出现类似错误。此外，学生在最后结果中对是取交集还是取并集往往分不清，这是普遍存在的问题。教师在教学中应给学生指明，由于每种情况的各不等式应同时满足，在分别求解（I）（II）的过程中应取交集，而分别解出后（I）（II）最后的解集合应是并集。因为（I）（II）都能使原不等式成立。在解时，学生往往又对为什么只将其转化为一种情形不理解，这些问题，教师在教学中应引起充分的重视。

在教学指数不等式和对数不等式时，教师要引导学生先复习指数函数和对数函数的有关性质，特别在指数函数和对数函数的单调性。这是解指数不等式和对数不等式的理论和依据。此外，若指数不等式和对数不等式的底数不是确定的数时，应按底数大于1和大于0小于1进行分类讨论。在解对数不等式时，除按对数函数的单调性得出真数间的关系外，还要注意真数是正数这一约束条件，很多学生很容易忘记这一点。另外，由于给学生强调了对数的真数为正数这一条件后，有些学生又在解指数不等式中的指数部分添上这一条件。

三、含有绝对值的不等式

这一部分内容对学生来说属于难点，尽管学生在初中便接触到了绝对值，但学生仍然对含有绝对值的式子感到陌生，从而感到无从下手。教师在教学这一部分内容时，可给学生强调，解决和绝对值有关的内容时，其关键在于去掉绝对值符号。而常见的去掉绝对值的方法有两种，一是通过平方，另一种方法是通过在数轴上分区间进行符号讨论而去掉绝对值符号。而在具体问题中采用什么方法去掉绝对值符号，则视情况而定，具体问题具体分析，并没有绝对的标准，在教学中作这些强调，便能突破和绝对值不等式有关的难点。

四、关于不等式的应用

教材中没有对不等式的应用进行专门的讨论，而学习的目的在于应用，且关于不等式的应用问题一直是高考中的重点考查内容，因此有必要在此谈一谈关于不等式的应用问题。不等式较为常见的应用是求函数的定义域和值域，求函数的定义域学生较容易接受，而用于求值域则不少学生感到困难，教师在教学中可专门对此作些介绍，如用不同的方法讨论求的值域问题。

不等式的另一个应用是用于求函数的最值问题，这里主要是用基本不等式求最值，而用得最多的是用算术平均数不小于几何平均数这一性质，教材中只在第13页以一个例子给了出来，而在实际问题中便不是这样简单了，在用基本不等式求最值时一定要给学生强调得出最值的条件，否则便容易出现错误。例如求函数y＝2x（3－x）（6－x）的最大值，若按得，不难发现解答是错误的，因为取等号的条件是2x＝3－x＝6－x，这显然是不成立的。

虽然学习了不等式，但学生在实际生活中对如何用不等式的知识解决实际问题仍感到陌生，甚至无从下手。如很多学生学习不等式后不会解这道题：“某商店进一批商品，其进价单价为40元，若按50元一个销售，能卖出50个，如果销售价每涨1元，销售量就减少一个，为了获得最大利润，此商品的最佳销售价应为每个多少元？”这是学习不等式之后联系实际生活的一个典型事例，教师在教学不等式的应用时多作这方面的介绍，便可以逐步培养学生学以致用的能力。

不等式的第三个应用是解决含参数的有关问题，解决这种类型的问题既可以加深对不等式的理解，同时又可以培养学生分类的思想和方法（因含参数的问题大多要进行分类讨论），因此教师在教学中可根据实际情况讲解之些方面的问题。

由于不等问题在现实生活中是普遍存在的，故教师在补充讲解不等式的有关内容时要根据实际情况适可而止，切忌贪多求全，否则既加重学生负担，又不能有大的收获。

以上笔者结合教学实践对不等式单元的教学谈些看法，期望能对同行把握不等式这部分教材起些参考作用。