浅谈“几何概型”的几种模型

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在近几年的高三教学中，本人发现学生对“几何概型”这一题型了解不是很深刻，而这一块又是高考中常见的一类题型，以下本人就这一问题的几种模型做简单举例。

一、长度模型

例1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．（“测度”为长度）

【分析】点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D．当点M位于图中线段 AC′内时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d．

【解析】在AB上截取AC′=AC．于是

P（AM＜AC）=P（AM＜AC′）===

答：AM小于AC的概率为.

二、角度模型

例2．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，过点C任做一条射线与斜边AB交于一点M，求AM小于AC的概率．（“测度”为角度）

【分析】过点C任做一条射线位于∠ABC内，交斜边AB交于点M，故∠ACB为区域D．当点射线位于图中∠ACC′内时，AM＜AC，故∠ACC′即为区域d．

【解析】在AB上截取AC′=AC．于是

P（AM＜AC）=P（∠ACM＜∠ACC′）===

答：AM小于AC的概率为.

三、面积模型

引例：由课本P101的例题１，模拟估计π的值．

取一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

【解析】由课本P101的例题１可以知道，豆子落入圆内的概率P（A）=．如果我们向正方形内撒n颗豆子，其中落入圆内的豆子数为m，那么当n很大时，比值，即频率应该接近于P（A），所以P（A）≈．又因为P（A）=，所以≈，所以π≈．

（用Excel模拟见“撒豆模拟.xls”）

说明：

模拟的主要思想：当n很大时，比值（可以由计算机模拟得出），即频率应该接近于P（A），而在几何概型中P（A）=，通常已知D的测度，所以可以利用≈P（A）=估计出d的测度或在P（A）值中某些量的值．

例3．定义函数CONRND（a，b）是产生区间（a，b）内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N输入的值为100，结果m的输出值为21，则由此可估计π的近似值为 。

【分析】本题将几何概型与算法的有关知识联系在一起，很多同学由于没看懂，还有些不清楚怎么来的，所以很多答案都是3.14

【解析】==

π=3.16

例4.在面积为S的ΔABC的内部任取一点P，则ΔPBC的面积大于的概率 .

【解析】过点A作AHBC于H，在AH上取四等分点D点，再过点D作EF∥BC，要想ΔPBC的面积大于，则点P应落在直线EF的上方，故：P==（）2=.

四、体积模型

例5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若在正方体内（包括边界）任取一点M，则四棱锥M-ABCD的体积不小于的概率是 .

【解析】

VM-ABCD=Sh=h≥

?圯h≥

所以点M应落在高的以上部分即P=.

作者单位：江苏省盐城市第一中学

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