JSZ期限结构模型对我国债券收益率曲线的拟合实证
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[摘 要] 利率期限结构是指债券的到期收益率与到期期限之间的关系，该结构可以通过利率期限结构图表示，图中的曲线即为收益率曲线。本文利用jsz模型对我国债券市场利率期限结构模型进行估计，拟合效果好，而且运算速度比卡尔曼滤波更快。本文旨在提炼出JSZ模型的精华内容并阐述其计算的逻辑过程，并用于拟合我国银行间固定利率债券，使研究利率期限结构学者能快速掌握JSZ模型的核心思想及其应用。
[关键词] JSZ模型；利率期限结构；卡尔曼滤波
doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2015 . 17. 061
[中图分类号] F812.5 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2015）17- 0115- 03
对高斯动态期限结构模型（GDTSM）的估计大多采用卡尔曼滤波方法，这种方法的最大问题是模型中的变量太多，如果初始值设置的不好，模型不易收敛，或因计算过程中矩阵出现奇异矩阵，造成运算无法继续运行或结果不准确。JSZ模型是Scott Joslin、Kenneth J. Singleton、HaoxiangZhu（2011）提出，用于利率期限结构模型的估计。但JSZ（2011）文章内容较多，晦涩难懂，笔者下面的内容旨在提炼出JSZ模型的精华内容及其在我国债券收益率曲线拟合过程中的应用，相应的文献综述和证明过程请参考JSZ（2011）原文。
1 JSZ模型的核心
JSZ模型描述如下：
ΔXt=K■■+K■■Xt-1+∑XεtP（1）
ΔXt=K■■+K■■Xt-1+∑XεtQ（2）
rt=ρ0X+ρ1X・Xt（3）
Xt是定价因子，∑x∑x′是Xt的条件协方差矩阵，εtP，εtQ～N（0，IN）。
对于0息票债券模型收益率仍然遵循Duffiee和Kan（1996）仿射函数，表示成：
yt，m=Am（XQ）+Bm（XQ）・Xt（4）
Am，Bm满足Riccati差分方程：
Am+1-Am=K0Q ′Bm+■Bm′H0Bm-ρ0
Bm+1-Bm=K1Q′Bm-ρ1（5）
XQ=（K■■+K■■，∑X，ρ0X，ρ1X），（m1，m2，…，mJ）表示到期时间，J>N，相应的模型表示的收益率为：yt，m=（yt，m1，，yt，mJ）。
（1）、（2）、（3）、（4）是JSZ模型的规范化形式，为了便于计算，在命题1中JSZ给出其规范形式的等价形式：
任何规范的GDTMS观测上等价于下面形式：
ΔXt=K■■+K■■Xt-1+∑XεtP（6）
ΔXt=K■■+K■■Xt-1+∑XεtQ（7）
rt=t・Xt（8）
与标准的规范形式不同之处是：t是单位1向量，∑X是下三角矩阵，K■■=k■■，且K■■=0，i≠1，K■■是按顺序排列的约当型（Jordan）矩阵。
K■■=J（λiQ）diag（J1Q，J2Q，…，JmQ），且：
JiQ=λiQ 1 … 00 λiQ … 0 10 … 0 λiQ
各个约当块是按特征值的顺序排列（从大到小）。
这种等价形式简化了运算过程，而且便于计算机的处理，但定价因子Xt仍然是不可观测变量，因此，JSZ给出定理1，存在可观测的定价因子Ft=Wyt，任何规范的GDTMS等价于下面的模型：
ΔFt=K■■+K■■Ft-1+∑FεtP（9）
ΔFt=K■■+K■■Ft-1+∑FεtQ（10）
rt=ρ0F+ρ1F・Ft（11）
在此模型里，定价因子可以用可观测变量代替，假设名为Ft，这样不可观测的定价因子Xt变为可观测的定价因子Ft，可以假定N个0息票债券或其线性组合可以被模型精确定价；Ft的Q分布可以描述成参数：
FQ（k■■，λQ，∑F）λQ是K■■的特征值构成的向量，∑F∑F′是收益投资组合冲击的协方差矩阵。当模型在Q分布下稳定时，k■■与短期利率r■■在风险中性下的长期平均值成比例。K■■，K■■，∑F，ρ0F，ρ1F是k■■，λQ，∑F的明确函数。
综上所述，JSZ模型设置了2个测度P和Q，2种定价因子，可观测的P和不可观测的X，因此模型显得复杂，但运算并不复杂，JSZ对似然函数的处理进一步简化了估计难度。P测度下可观测的收益率的条件似然函数为：
f（yt|yt-1；）=f（yt|Ft；λQ，k■■，∑F）×f（Ft|Ft-1；K■■，K■■，∑F）
其中：f（Ft|Ft-1；K■■，K■■，∑F）=（2π）-N/2|∑F|-1×exp（-■||∑■■（Ft-Et-1[Ft]）||2）
注意这里：Et-1[Ft]=K■■+（I+K■■）Ft-1是对公式（9）两边取期望得到。
参数（K■■，K■■）的最大似然函数为：
（K■■，K■■）=argmax■f（yt|yt-1；K■■，K■■，∑F）=argmin■||∑■■（Ft-Et-1[Ft]）||2
这样，参数（K■■，K■■）的最大似然函数可以用普通最小二乘法求得。一般的三因子GDTSM模型有22个参数要估计，3个λQ，1个k■■，6个∑■■，3个K■■，9个K■■，而JSZ模型只有前4个参数，存在实质性的改进。
这里选取银行间固定利率国债收益率数据，时间是从2006年3月到2014年2月，取每月最后一天的数据，期限取6月、1年、2年、3年、5年、7年、10年。每一期限共计96个月度数据，数据来源是Wind数据库。数据的基本情况如图1所示。
为了利用Matlab软件编程，将式（6）到式（11）描述成计算机可以处理的形式：
在P测度下：
F（t+1）-F（t）=K0P_F+K1P_F*X（t）+eps_F（t+1）
其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F
在风险中性Q测度下：
X（t+1）-X（t）=K0Q_X+K1Q_X*X（t）+eps_X（t+1）
其中：Cov（eps_X（t+1））=Sigma_X
F（t+1）- F（t）=K0Q_F+K1Q_F*X（t）+eps_F（t+1）
其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F
式（4）描述成计算机处理形式为：
模型收益率Yt=AF’+BF’*F（t）或：Yt=AX’+BX’*X（t）
利用JSZ模型及JSZ提供的Matlab工具箱，对模型的各参数进行估计，结果如下：
AF=[-0.076 9 0.075 8 0.101 1 -0.026 3 -0.190 7 -0.083 1 0.217 7]
BF=[ 0.458 3 0.459 0 0.435 8 0.399 9 0.328 7 0.273 5 0.216 7 -0.4501 -0.336 5 -0.106 5 0.091 4 0.357 5 0.488 3 0.548 3 -0.630 4 -0.019 5 0.471 0 0.485 8 0.139 0 -0.183 7 -0.441 0]
AX=[0.747 2 1.546 2 2.821 0 3.716 0 4.809 2 5.399 5 5.688 2]
BX=[0.975 5 0.947 1 0.893 7 0.844 3 0.756 1 0.680 4 0.585 8 0.873 1 0.748 3 0.565 0 0.441 6 0.294 9 0.216 2 0.152 5 0.869 8 0.742 5 0.556 9 0.433 2 0.287 8 0.210 5 0.148 4]
K0P_F=[-0.108 6 0.224 8 -0.286 7]
K1P_F=[-0.050 0 0.182 4 0.001 8 -0.013 1 -0.129 3 -0.431 9 0.001 7 -0.003 4 -0.467 9]
K0Q_F=[0.274 1 0.122 7 -0.050 3]
K1Q_F=[-0.005 1 0.075 8 0.285 0 -0.006 8 -0.008 4 -0.191 0 -0.003 8 0.005 6 -0.107 1]
K0Q_X=[ 0.315 0 0.000 0 0.000 0]
K1Q_X=[-0.009 9 0.000 0 0.000 0 0.000 0 -0.054 6 0.000 0 0.000 0 0.000 0 -0.056 1]
下面对比模型的拟合值和实际值，如图2所示。
图2中黑色实线表示实际值，红色实线（如果无颜色，则是较淡的曲线）表示模型求得的拟合值，如果不放大图，二者几乎重合，说明JSZ模型非常好地拟合收益率曲线数据。
3 结 论
JSZ模型可以很好地拟合我国银行间国债收益率曲线，而且收敛的速度比用卡尔曼滤波技术快得多，几秒完成运算。使用卡尔曼滤波需要设置初始值较多，如果设置不好，收敛的速度会非常慢，甚至不收敛，而JSZ模型无此问题。JSZ模型的另一个优点是需要估计的参数少，三因子模型只有4个，利用卡尔曼滤波需要估计22个参数。JSZ模型本身也非常灵活，感兴趣学者可以在此基础上加入宏观经济变量，来分析利率期限结构与宏观经济之间的关系。
主要参考文献
[1]D Duffie，R Kan. A Yield-factor Model of Interest Rates[J]. Mathematical Finance，1996（6）：379-406.
[2]S Joslin，K Singleton，H Zhu.A New Perspective on Gaussian DTSMs[J].The Review of Financial Studies，2011，24（3）：926-970.
[3]S Joslin.Pricing and Hedging Volatility in Fixed Income Markets[R]. Working Paper， MIT，2007.
[4]S Joslin，A Le，K Singleton.The Conditional Distribution of Bond Yields Implied by GaussianMacro-finance Term Structure Models[R]. Working Paper， Sloan School， MIT，2010.
[5]S Joslin，M Priebsch，K Singleton.Risk Premiums in Dynamic Term Structure Models with UnspannedMacro Risks[R]. Working Paper， Stanford University，2010.
[6]S Joslin，K Singleton，H Zhu.Supplement to“A New Perspective on Gaussian DTSMs.”[R].WorkingPaper，Sloan School，MIT，2010.
[7]李宏瑾. 市场预期、利率期限结构与间接货币政策转型[M].北京：经济管理出版社，2013.
[8]周荣喜，杨丰梅.利率期限结构模型：理论与实证[M].北京：科学出版社，2011.