APOS理论下的数学概念学习过程
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摘要：数学概念是数学的逻辑起点，是学生学习数学知识的基石，也是学生进行数学思维的核心，在数学教学中具有重要地位。数学概念的学习是数学学习的重要组成部分，美国数学教育家杜宾斯基在数学教育研究的实践中提出了新的关于概念学习过程的理论，即apos理论。APOS理论以皮亚杰关于个体思维的反省抽象理论为基础，阐述了个体认知数学概念的过程。这是关于数学概念学习的新理论。
关键词：数学概念；概念的形成APOS理论；布鲁纳；建构主义
数学概念是数学的逻辑起点，是学生学习数学知识的基石，也是学生进行数学思维的核心，在数学教学中具有重要地位。早在1910年，F.N.Freeman就作出了“关于儿童与成人的数的概念的形成”的研究。随着建构主义的广泛认可，数学概念的学习分为概念的形成和同化两种形式。
概念的形成是指在教学条件下，从大量的具体实例出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方式，概括出一类事物的本质属性。在数学学习中，对于初次接触的或较难理解的概念往往采用这种学习形式。主要的操作步骤为：1.辨别一类事物的不同例子；2.概括出各例子的共同属性；3.把本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使新概念与已知的有关概念区别开来；4.把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以表明它的外延；5.扩大或改组原有数学认知结构。这种方式从较为直观，具体的问题人手，容易使学生理解抽象概念；但是由对具体实例的感性认识上升到理性认识并归纳概括出概念，对学生的归纳总结能力有着较高的要求。比如说在给出棱柱的概念时，可以先观察桌面上竖着的铅笔，课本，老师出示的正方体，五棱柱，然后总结出其共同特点：有两个面互相平行，其余各面的交线也互相平行，因此各个面为平行四边形。再归纳总结出棱柱的定义。这样学生就从直观的物体上了解了抽象的概念，比直接给出棱柱的概念更有利于学生对棱柱的进一步学习。
学生在学习直接用定义形式陈述的概念时，主动地与其认知结构中原有的有关概念相互作用并领会新概念的本质属性，从而获得新概念的方式叫做概念同化。我国中学教材的编写，知识结构总是螺旋上升的，当新概念能与学生原有的知识结构一致融合时，多采用这种学习形式，“是学生获得概念的最基本方式”。这种方式过程简明，使学习者能够比较直接的学习概念。但是与概念的形成相比，这种方式是对已有知识的概括，对学生的原有知识结构的要求较高，学习方式更多的是接受学习、，学生较为被动，自主学习的成分较少。例如，三角函数，的定义，经历了从直角三角形得定义到锐角的坐标法定义再到0度到360度间的角的三角函数定义最后到任意角的三角函数定义。任意角的三角函数定义是与三角形的有关概念及函数概念相关联的，直接给出任意角的三角函数的概念，概念能够与学生原有的知识结构一致融合，不会有出现太大的理解困难。 近几年来，美国数学教育家杜宾斯基在数学教育研究的实践中提出了新的关于概念学习过程的理论，即APOS理论。APOS理论以皮亚杰关于个体思维的反省抽象理论为基础，阐述了个体认知数学概念的过程。他认为学生学习数学概念是要进行心理建构的，这一建构过程主要经历以下四个阶段：
1 操作(Action)阶段。这是个体对数学“对象”进行变形，一般来自外部刺激，通过学习一步步动作指示来获得，这一获得有时是显而易见的，有时来自于记忆。这里的“活动”泛指所有的数学活动，如猜想，回忆，计算，推理等，而不仅仅指学生的肢体动作。比如：在有现实背景的问题中建立函数关系y=x2，需要用具体的数字构造对应：2－4；3－6 14－16；…通过操作，理解函数的意义。
2 对象(Process)阶段。不断地被个体重复并反省它，动作已经自动化了，不再需要外部刺激，个体已经形成内部构造时，“活动”就内化为“过程”表现为个体能够将数学概念一般化，并构造更复杂的“活动”。例如上述的操作活动综合成函数过程为：x－x2，其他各种函数也可以概括为一般的对应过程：x－f(x)
3 对象(Object)阶段。当个体将“过程”看作一个整体，并可以对它变形。这时“过程”就凝聚成“对象”。可将上述的函数过程上升为一个独立的对象来处理；对其进行加减乘除，复合运算等。在f(x)g(x)表示式中，f(x)和g(x)均作为整体对象出现。
4 概型(Stheme)阶段。此时的概念，以一种综合的心理图式而存在于脑海中，在数学知识体系中占有特定的地位。如函数概念在此时就变成含有具体的函数实例，抽象的过程，完整的定义，乃至和其他概念的区别和联系的心理图式。
杜宾斯基取四个阶段英文单词的首字母，定名为APOS理论。
笔者认为APOS理论的操作过程与布鲁纳的发现理论有着类似的地方，两种理论都以学生的主动性为前提，要求学生通过对大量的实例的观察，分析，归纳总结出概念。但APOS理论明显优于布鲁纳的理论。
首先，教师参与的程度不同。布鲁纳的认知一发现理论强调在教学过程中，学生是一个积极的探索者，教师的作用只是创设一种学生能够独立探索的情景，学生进行的是独立探索，教师不干涉学生的探索进程和步骤。虽然APOS理论的主体仍然是学生，但在教学过程中更多强调的是教师与学生的互动交流，是由教师逐步引导学生的思维活动的，教学活动是在教师的设计下进行的，学生既不是单纯的被动接受，也不是毫无界限的随意探究。在这个过程中，学生的探究进程和步骤都是在老师的引导下进行的，都渗透着师生共同的心血。APOS理论是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，教师也可根据是否有利于“活动”的“自动化”来判断教学设计的有效性。
其次，适用范围不同。由于APOS理论是杜宾斯基在研究高等数学思维的时候提出的，对高等数学的学习有指导性的作用。后来被加拿大的Riazazkis研究证实该理论同样适用于基础数学的学习。所以，APOS理论主要针对的是个体的数学学习。而布鲁纳的理论是适用于所有科目的学习的，是认知主义的经典理论之一，适用范围更加广泛。
由此，笔者猜测APOS理论在实践中还有可能会出现以下问题：
第一：学生可能会归纳出错误概念。这是由于选取的实例可能不符合学生已有的知识结构，不符合学生的心理发展规律或者这一组实例有着其他的显著共性，导致出现“土豆站起来”的结果。一旦学生出现这样的错误，想要再引导回正确的概念就比较困难了。纠正一个错误概念所付出的努力远远大于接受一个新概念的，因为无论何时提到这个概念，学生头脑中首先提取到的总是第一次记忆中的错误版本。
第二：由于APOS理论在我国尚属推荐阶段，许多数学老师对这一模型的使用尚存在不少疑虑，因而普及面不大。对这种理论，许多老师显得经验不足，对各个阶段及衔接过程把握不准。因此推广应用中可能会出现一味讨论实例的性质或讨论无意义的实例等情况，导致耗时多，效果差的问题。
所以对APOS理论的学习，应用和推广还有待于进一步的深化。
所以不论是概念的形成或同化还是APOS理论均属于建构主义的理论。建构主义的理论在理论研究和实际操作中如此的广泛应用，并不是说这个理论完美无瑕，完整的体现了学习过程中人的心理变化和学习过程中影响人学习的因素到底是什么，而是建构主义的观点符合现代数学教育所注重的“以学生发展为本”的思想。建构主义观点强调通过个体的体验即对自己经验活动的反思来主动建构，对于很多抽象程度强的数学概念，特别是一些对学生。来讲全新的数学概念，学生对概念本身的接受和理解就会感到困难，有时就是能找到它与学生原有认识结构中其他知识结点的联系，也常常会因为对概念本身理解程度的浅显而使得这种联系苍白无力，这种联系会因为理解的欠缺而很快消失，这些建构起来的概念也特别容易遗忘。所以在概念的学习中还应该注意对获得的概念进行再次认识，这样对概念的理解就不仅仅局限于一个独立的知识，而是形成一个完整的概念网络体系，有效的防止知识的遗忘和概念与应用脱节。
我们应该关注重视概念学习的过程，关注有关概念学习的理论，完善教学过程，探究更适合学生心理发展规律的学习方法。