求解反函数相关问题的误区及对策

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〔关键词〕 数学教学；反函数；相关问题；误区；对策

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）24—0090—01

反函数是函数研究中的一个重要内容，是函数教学的一个重点，也是学生学习的难点.在反函数教学中稍有不慎就会走入误区，有些错误观点甚至在一些辅导资料中以谬传谬，造成误导.这里列举出求解反函数相关问题的几种常见错误，并提出相应的对策.

误区之一 求反函数时忽视了原函数的值域

众所周知，两个函数若定义域不同，即使对应法则相同，也不是相同的函数.原函数的值域是反函数的定义域，若忽视了原函数的值域，则解得的结果不一定正确.

例1 求函数y=1-■（-1≤x

错解：由y=1-■得（y-1）2=1-x2， x2=1-（y-1）2.

又-1≤x

剖析： 原函数的值域为（0，1），故反函数的定义域为（0，1），而上述解法所得的反函数的定义域为[0，2]，显然不是原函数的反函数.

误区之二 求反函数时忽视了原函数的定义域

有些函数其本身不存在反函数，但在其单调区间内反函数存在.在求这类函数的反函数时，除注意其值域外，同时也要注意其定义域，根据其定义域对求得的x合理取舍.

例2 求函数y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的反函数.

错解： 函数y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的值域为y∈[2，6]，又y=-（x-2）2+6，即（x-2）2=6-y，x-2=

±■.

所求的反函数为y=2±■ （2≤x≤6）.

剖析： 上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x进行合理取舍，从而得出了一个非函数表达式.

误区之三 混淆复合函数的反函数与反函数的复合函数两个不同的概念

函数y=[φ（x）]的反函数指的是复合函数g（x）=[φ（x）]的反函数g-1（x），而函数y=f-1[ φ（x）]指的是y=f（x）的反函数y=f-1（x）中的x用φ（x）代替得到的解析式，即y=f（x）的反函数的复合函数，这两个函数一般是不同的.

例3 已知函数f（x）=2x-1，求f（x+1）的反函数.

错解：由f（x）=2x-1可求得其反函数为f-1（x）=■x+■，从而所求的反函数为f-1（x+1）=■（x+1）+■=■x+1.

剖析：上面解法错误的原因是误认为函数f-1（x+1）是复合函数f（x+1）的反函数.事实上，函数y=f（x+1）的映射法则已不再是“f”了，当然“f-1”不是它的逆映射，正确的解法是：令g（x）=f（x+1）=2（x+1）-1=2x+1，解得g-1（x）=■x-■，即f（x+1）的反函数为g-1（x）=■x-■.

误区之四 盲目利用反函数求函数值域

在反函数存在的前提下， 某些函数运用反函数法求函数的值域的确是一种好方法，但通过反函数的定义域求原函数的值域，逻辑上属于循环解答.习惯上是将反函数的解析式有意义的x的取值范围作为原函数的值域.运用这种方法求函数值域只有在等价变形的前提下才是正确的.

例4 求函数y=■（x>0）的值域.

错解 ： 由函数y=■ 可求得反函数为y=■，其反函数定义域为x∈（-∞，3）∪（3，+∞），从而原函数的值域为{y|y∈R且y≠3}.

剖析： 由于x=■>0，可求得原函数的值域为（■，3），而不是（-∞，3）∪（3，+∞），造成错误的原因是求解x时， 用x≠-2代替了原函数的定义域x>0，这是一种不等价的变形.

误区之五 认为互为反函数的两图象如果有公共点， 则公共点必在直线y=x上

原函数的图象与反函数的图象关于直线y=x对称， 原函数的图象与直线y=x的交点必是两函数图象的公共点，但两函数图象的公共点不一定都在直线y=x上.认为“原函数图象与反函数图象的公共点必在直线y=x上”这个错误的观点，不仅学生在解题时经常出现，而且在一些参考资料中也时常见到（例题略）.