数学必备品格的要素之“数学意识”

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【摘要】培养学生良好的数学品格是数学教育的顶层目标之一，而数学意识则是形成良好数学品格的核心与关键。数学意识是“自觉”地从数量关系和空间形式的角度认识世界的一种头脑与眼光。数学意识通常包括初步的符号意识、建模意识、数据分析意识、应用意识等。学生数学意识的培养是一个引导学生不断“数学化”的过程，引导学生持续经受“水平数学化”和“垂直数学化”的历练，是培养学生数学意识的两个基本策略。

【关键词】数学意识；数学化；水平数学化；垂直数学化

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）33-0010-03

【作者简介】顾亚龙，上海市徐汇区教育学院（上海，200032）小学数学教研员，高级教师，徐汇区小学数学学科带头人，徐汇区小学数学学科基地主持人，获全国小学数学课堂教学评比一等奖。

数学核心素养，是学生适应个人终身发展和社会发展需要的必备数学品格和关键数学能力。培养学生良好的数学品格是数学教育的顶层目标之一，而数学意识则是形成良好数学品格的核心与关键。因此，厘清数学意识的内涵，掌握培养学生数学意识的有效策略，是促进数学核心素养“落地”的基础和前提。

一、数学意识的内涵

意识，作为动词，即意识到的活动；作为名词，是与活动相对应的结果（知识）。数学意识作为人脑对客观世界的数量关系和空间形式的反映，也有两方面的含义：其一，作为人脑的反映，数学意识是主体能动地“自觉”运用数学的观点去分析、处理问题的思维习惯；其二，作为数学活动的结果，数学意识主要包括数学概念、原理、公式、定理所运用的数学思想方法及其知识。二者相辅相成，辩证统一于数学活动过程之中。

关于数学意识，日本数学教育家米山国藏则说得更加明了：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思想方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益。”

这种即便忘掉具体数学知识，依然能从数学的视角去分析和研究问题的思维习惯，是一种植根于内心的数学素养和无须提醒的文化自觉，即数学意识。因此，通俗地讲，数学意识是“自觉”地从数量关系和空间形式的角度认识世界的一种头脑与眼光。数学意识能“自觉”地指导、调节、监控学生的数学活动，使其行动具有目的性、方向性和A见性。

数学意识深深植根于数学思想方法的形成过程之中。数学思想方法在主体的认知结构中被固定下来以后，便形成数学意识，而数学意识的进一步内化便上升为数学精神。

数学意识通常包括初步的符号意识、建模意识、数据分析意识、应用意识等。数学意识体现在日常生活的方方面面，可谓如影随形。

例如：生活中身经百战的麻将高手不乏其人，但你要问他们到底怎样才算是和牌了？他们往往只能一类一类地给你讲一些具体的牌局，却很难一言以蔽之。

这个看似与数学无关的问题，却能用数学公式表示为：

m*ABC+n*DDD+EE（m、n可以等于零）

稍加分析，可知这其中蕴含着如下数学意识：

符号意识：用字母A、B、C、D、E表示各种牌及其相互关系，用m、n表示牌的数量，简洁明了。

建模意识：将各种和牌的方式用公式m*ABC+n*DDD+EE构建为数学模型，优雅漂亮。

数据分析意识：对于m、n各种取值情况的分析（m、n可以等于零），展现出具体的数据分析意识。

应用意识：在非数学情境中能够数学化地分析并解决实际问题，是数学思想方法被内化为数学意识和数学能力后的自觉应用，这是数学意识的自然流露。

数学具有得天独厚的工具价值，特别是在日益“数字化”的今天，社会发展呈现出显著的数学化趋势，连许多过去与数学似乎无关的领域都被纳入了数学的版图，并获得了数学定量研究的推进，因此取得了长足的进步。人们越来越意识到，现代科学的问题在本质上都是数学问题，这种认识本身正是数学意识的升华。

二、数学意识的培养策略

学生数学意识的培养是一个润物细无声的滋养和浸润过程；就像只有在游泳中才能学会游泳一样，学生数学意识的培养是一个不断引导学生进行“数学化”的过程。

荷兰数学家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，不如说学习数学化。”“数学化”是弗赖登塔尔数学教育思想的核心，他将“数学化”进一步分为“水平数学化”和“垂直数学化”。

水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化，即把情景问题表述为数学问题的过程，是“把生活世界引向符号世界”。垂直数学化，是在水平数学化之后进行的数学化，是建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程，是“在符号世界里符号的生成、重塑和被使用”。这两个维度的数学化事实上构成了培养学生数学意识的两个基本策略。下面，从“水平数学化”和“垂直数学化”这两个维度，结合具体案例对数学意识培养的两个策略做进一步的阐述。

策略一：水平数学化

数学源于生活，将生活情境中的问题表述为数学问题，让学生逐步尝试从数学的视角看世界，能不断增强学生的数学意识。

例如：在大河的一边有两个村庄，为方便村民们到河边取水，打算在河边建一个码头。如果要使两个村庄到码头距离的和最短，问码头应该建在何处？

这是日常生活中经常会遇到的一类实际问题；比如，人们有时要在路边建一个车站、商店或放置一个垃圾箱等，要能同时方便路边两处的居民。引导学生将这类实际问题转化为数学问题，这对于学生数学应用意识的形成是一种很好的启蒙，将有效激活学生的数学意识，逐步养成数学地看问题的思维习惯。

如果将这条大河抽象为直线L，将两个村庄看作A、B两点，则实际问题就被转化为一个数学问题：在直线L的一侧有A、B两点，在直线L上选一个点D，使AD+BD的和最小。经历这个将生活世界引向符号世界的过程，让学生感受到符号语言的简洁精准，启迪学生的符号意识。