从一道高考试题的命制到解法探究

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1 问题缘起

题目 （2014年辽宁理第16题）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，3a-4b+5c的最小值为 .

分析 条件中，非零实数a，b满足的方程可化为4a2-2ab+4b2=c，令f（a）=4a2-2ab+4b2，其判别式Δ=（-2b）2-64b2=-60b2<0恒成立，则f（a）恒大于0，c>0显然成立！此条件是a，b非零的必要条件，c>0的条件完全可以去掉.

戴再平教授在《数学习题理论》中曾提出，数学习题的条件必须是独立的、最少的，即不应有重复的、多余的、过剩的条件.但出于命题者的试题考查目的，考虑到学生的接受能力，为了降低题目难度，可以允许一些条件保留，这是笔者认为多余条件允许存在的唯一理由.这一问题仅是笔者个人愚见，值得商榷.

从题目给出的多余条件c>0进行思考，我们会得到很多意想不到的解法.

2 解法探究

解法1 由题意，4a2-2ab+4b2-c=0可化为58（2a+b）2+38（2a-3b）2=c，则58（2a+b）2≤c，即2a+bmax≤8c5，当且仅当2a=3b时，2a+bmax=8c5，此时，a=3b2，c=10b2，3a-4b+5c

=12b2-2b=121b-22-2≥-2，即c=52，a=34，b=12时，3a-4b+5c的最小值为-2.

评注 既然c>0显然成立，我们更关心4a2-2ab+4b2=c左边的形式，抓住该问题的核心2a+b，对左边进行变形就感觉并非空穴来风，而是有章可循了.

分析1 既然c>0显然成立，令a=x+y，b=x-y，此时2a+b=3x+y，则原方程可化简成6x2c+10y2c=1，因c>0，故上式方程表示焦点在x轴上的椭圆.原题就等价于：已知6x2c+10y2c=1，探寻3x+y取得最小值的条件.至此，求解解法就非常多了，利用柯西不等式、三角换元、Δ法、线性规划思想等等，都是我们熟悉的，下面仅介绍本题的柯西不等式解法和解析几何中的Δ法，其它方法不再赘述.

在人教A版《数学选修4-5》不等式选讲中，教材介绍了二维形式的柯西不等式，即若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc时，等号成立.

解法2 通过以上分析，（3x+y）2≤[（6x）2+（10y）2]362+1102=8c5，因2a+b=

3x+y.所以，当且仅当x=5y时，2a+bmax=8c5，此时a=6y，b=4y，c=160y2，故3a-4b+5c=132y2-12y=132（1y-8）2-2≥-2，当y=18，即c=52，a=34，b=12时，3a-4b+5c的最小值为-2.

解法3 设z=3x+y，6x2c+10y2c=1，

z=3x+y，消去y得，96x2-60zx+10z2-c=0（*），由题意该方程有解，故Δ=900z2-96（10z2-c）≥0.所以，z2≤8c5，z≤8c5，即zmax=8c5，此时z=±8c5，代入（*）方程得：x=5z16=±10c8，所以x=10c8，

y=210c5-310c8，或x=-10c8，

y=-210c5+310c8.故a=310c20，

b=10c10，

或a=-310c20，

b=-10c10.

当a=310c20，

b=10c10，时，3a-4b+5c=5c-22-2≥-2，等号当且仅当c=52时取得;

当a=-310c20，

b=-10c10，时，3a-4b+5c=210c+5c>0.综上可知：当c=52，a=34，b=12时，3a-4b+5c的最小值为-2.

解法4 由题意显然ab>0时，2a+b取得最大，设2a+b=t，b=t-2a，代入条件方程得：24a2-18at+4t2-c=0，Δ=-60t2+96c≥0，故tmax=210c5，2a+b=210c5，两边平方得c=20a2+5b2+20ab8，代入4a2-2ab+4b2=c得：（2a-3b）2=0，即2a=3b，不妨设a=3m，b=2m，c=40m2，3a-4b+5c=18m2-1m=181m-42-2≥-2，此时m=14，即a=34，b=12，c=52时，3a-4b+5c的最小值为-2.

评注 解法4巧妙利用2a+b取得的最大值210c5，利用2a+b=210c5中的a，b，c关系，结合已知方程，进行代入消元，避免了解法3中的繁琐讨论，揭示了此题的考查核心，即a，b，c关系，从而能轻松获解.这种解法源于最基本的数学思想――“消元”，通过转化对多元问题进行“消元”处理，具有较强的普适性.如2008年江苏理第11题，2011年浙江理第16题，2013年山东理第12题，2014年辽宁文第16题均可采用这种思想解答.

分析2 既然c>0显然成立，将方程4a2-2ab+4b2=c变形为a2+b2-2ab・14=c22，我们发现，其实此等式是我们非常熟悉的代数表达式，可以联想到余弦定理中这样的格式.又因2a+b≤2a+b，等号成立只需a、b同号.不妨设a>0、b>0.

解法5 原题条件方程可化为a2+b2-2ab・14=c4，如图，原问题等价于：在三角形ABC中，cosC=14，AB=c2，当2a+b最大时，求3a-4b+5c的最小值.

根据正弦定理得：asinA=bsinB=c2sinC=2c15.所以a=2c15sinA，b=2c15sinB.从而2a+b=2c15（2sinA+sinB），2sinA+sinB=2sinA+sin（A+C）=14（9sinA+15cosA）=6sin（A+φ），其中φ在第一象限，tanφ=159.可见当A+φ=π2时，（2a+b）max=2c15・6=210c5，此时sinA=cosφ=946，a=2c15・946=310c20，b=210c5-2・310c20=10c10.故3a-4b+5c=5c-210c=5c-22-2≥-2.所以，当c=52，a=34，b=12时，3a-4b+5c的最小值为-2.

评注 这道题目也是由三角形中的问题演变而来，不禁让人感到命题专家对此题的多角度理解，真是让人拍案叫绝，有种知其然且知其所以然的感觉.

作者简介 陈新伟，泰安市优秀教师、泰山教学新星，多次获得泰安市课程与管理先进个人，主要对自主招生、数学竞赛、数学教育、班主任工作方面进行思考专研，发表班主任、数学专业类文章30余篇.