多角度激发学生兴趣,培养思维
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数学课堂上如何培养学生从多角度思考问题数学教学是数学思维活动的教学，它的基本目标是促进学生的发展，这不仅是让学生获得必要的知识技能，还应当包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面的发展.教会学生从多角度分析和思考问题，有利于培养和发展学生的求异思维，发散思维，逆向思维等进行创新活动所必须的思维形式.因此，在数学课堂中要注重培养学生的创造思维能力，让学生学会从多角度思考，提高课堂教学的有效性.举例如下：
例1 角α的始边为x轴的正半轴，终边为射线l:y=2x(x＞0)，如点P，Q分别是角α的始边、终边上的动点，且PQ＝4，求POQ面积的最大值.
思考角度一：常规解法
易想到面积公式SPOQ=12OP・OQsinα
解：设OP＝m，OQ＝n
S=12mnsinα=12mn・25=15mn
OPQ中，由余弦定理知：PQ2＝m2＋n2－2mncosα
16=m2+n2-2mn・15≥2mn1-15
mn≤25(5+1)
(S)max=15・25(5+1)=2(5+1)
思考角度二：以形助数
PQ＝4，∠α是定值，可以把PQ看成是OPQ的外接
圆的定弦长，把O点看成是圆弧上的动点.
（图1）
解：由右图1可知，当点O落在PQ的中垂线ON上时，
OPQ面积最大，设圆心为M，设圆的半径为R
（图2）
由右图2可知，(SOPQ)max=12PQ(R+MN)=2(R+MN)
由正弦定理知PQ=2Rsinα，sinα=25
知R=5,MN=1
(SOPQ)max=2(5+1)
例2 f(x)=x4+ax3+bx2+ax+1有零点，求a2+b2的最小值.
思考角度一：等价转化
从式子观察发现代数式次方较高，不转化无法解决，又看出f(x)的零点不可能是0，把式子除以x2即可转化.
解：x4+ax3+bx2+ax+1=0两边同除以x2知
x2+1x2+b+a1x+1x2=0
令t=x+1x（知t≥2或t≤－2）
本题转化为：t2+at+b-2=0（t≥2或t≤－2）有解
设g(t)=t2+at+b-2=0
（法一）分类讨论，抓住对称轴与自变量范围的关系加以讨论.
只需要-a2≥2或-a2≤2g(-2)≥0,g(2)≥0Δ≥0或g(-2)≤0g(2)≤0或g(-2)g(2)≤0
解之得：(a2+b2)min=45
（法二）简化讨论
由（法一）知分类较复杂，可简化分类只要求方程的小根≤－2或大根≥2即可
Δ=a2-4(b-2)≥0-a+a2-4(b-2)2≥2或-a-a2-4(b-2)2≤-2
化简知a2-4(b-2)≥04+a≤0或a2-4(b-2)≥04+a≥0,b≤-2a-2
C:y=x24+2
或a2-4(b-2)≥04-a≤0或a2-4(b-2)≥04-a≥0b≤2a-2
设a=x，b=y,点P（x，y），则点P表示的区域如图
O到l1和O到l2距离均为25
(a2+b2)min=45
思考角度二：变化主元
可以把“a”“b”看成未知量，“x”看成相应的系数
解：设x=m，再令a=x,b=y
原题变化为：方程(m3+m)x+m2y+m4+1=0有根，求(x2+y2)最小值.
设直线l的方程为：(m3+m)x+m2y+m4+1=0
设原点到直线l的距离为d
d2=｜m4+1｜(m3+m)2+(m2)2=(m4+1)2(m3+m2)2+m4
设t=m2(t≥0)
1d2=t(t+1)2+t2(t2+1)2=t(t+1)2(t2+1)2+t2(t2+1)2
=t(t2+1)+2t2(t2+1)2+t2(t2+1)2
=3tt+12+tt2+1
设u=tt2+1(t≥0)，知0≤u≤12
1d2≤3122+12=54
d2≥45知x2+y2≥45
即a2+b2≥45
例3 f(x)=x｜x-a｜，当x1,x2≥1且x1≠x2，均有f(x1)-f(x2)x1-x2＞0恒成立，求a的取值范围.
思考角度一：数形结合
可知f(x)是［1,+∞)上增函数，可以通过分类讨论a的范围，再画出y=f(x)的示意图，看出函数单调区间.
解：示意图为由y=f(x)是［1,+∞)增函数，可以看出a的范围为：a≤1
思考角度二：导数应用
含绝对值函数，常用分类讨论后去绝对值变成分段函数，再取导数，两个分区间上函数的单调性还要整体考虑，比较复杂，可以不去绝对值来求导数.
解：f(x)=x｜x-a｜=x［(x-a)2］12
f′(x)=｜x-a｜+x・12［(x-a)2］-12・2(x-a)=｜x-a｜+x(x-a)｜x-a｜
当x≥1时，f′(x)≥0恒成立，得到(x-a)(2x-a)≥0
即(a-x)(a-2x)≥0恒成立
即a≥2x或a≤x，而a≥2x不可能
a≤x恒成立，又x≥1知a的范围是a≤1
如老师课堂上能注意多引导学生抓住习题的结构和特征，激发学生多角度地探究问题的欲望，培养学生的良好思考习惯，提高学生的学习兴趣，长此以往，持之以恒，课堂定能形成有效课堂、高效课堂，学生的思维能力定会真正地得到提高.