解题反思,事半功倍

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审题是解题的前提，解题错误往往是由于审题不严而造成的. 同学们要善于总结审题的经验，培养良好的审题习惯. 某些数学问题的已知条件内涵很丰富，需要仔细地审视、分析才能理解透彻. 如果光看表面，常常会使条件的内涵缩小或扩大，导致所给问题的解集缩小或扩大.

■ 已知tanα，tanβ是方程x2+3■x+4=0的两个实根，且-■

错解 因为tanα，tanβ是方程x2+3■x+4=0的两个实根，所以可得tanα+tanβ=-3■，tanαtanβ=4，所以tan（α+β）=■=■=■.

因为-■

上述解法从推理过程上看步步有据，不存在问题，但是通过仔细分析，我们可以发现答案是错误的. 我们可以做这样的反思：

①题目存在隐含条件吗？如果有，隐含条件是什么？

②隐含条件对所求的α，β的取值范围有影响吗？若有，α，β的正确取值范围又是什么？

不难发现错解中没有深入思考“tanα+tanβ=-3■，tanαtanβ=4”中的隐含条件.实际上，应有tanα

有些题目由于隐含条件多，导致部分同学顾东不顾西，稍不留神，就会不知不觉地产生错误，使解题造成错解、增解、漏解. 因此，反思研究题目中隐含的条件就显得很重要.

解题后要思考是否有疏漏和错误的地方，总结应该注意的方面：如答案是否还有其他可能情况，是否掉入了命题者所设置的陷阱，等等.以此提高分析能力，纠正解答中的错误.

求数列1，x，x2，…，xn，…的前n项和.

错解 Sn=■.

仔细审查，其实解题过程是不完善的，存在疏漏，问题在于：①这个数列是等比数列吗？②运用等比数列求和公式应注意什么？

仔细推敲，等比数列公比q有可能为1，此时得到一常数列，其前项和是Sn=n；等比数列中，其公比和数列中的项不可能为0，而本题中x可以为0，得数列1，0，0，…，其前n项和Sn=1.

当然，对一个题目的反思如果仅限于题目本身、就题论题，那么远远还没有达到解题的目标，没有领会出题者的意图. 因此，我们还需对题目进行“深度”与“广度”的反思.

同学们解题需要把握问题的本质，不能凭臆想猜测. 如果解题缺少对问题本质的反思，就会变成无根之木、无源之水，不利于解题思路的形成.

1. 反思问题的本质

过双曲线■-■=1（a>0，b>0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C. 若■=■■，求双曲线的离心率.

同学们解题后应清楚地意识到该题主要考查了双曲线的有关几何性质，即渐近线、离心率、顶点等，同时又考查了已知两直线求交点，以及向量的坐标表示等问题，还考查了解析几何的基本思想方法和运算求解的能力，体现了数学知识交汇处命题的特色. 只有把握了题目的本质才能使解题游刃有余.

2. 反思解题的规律

“例题千万道，解后抛九霄”，这样便难以达到提高解题能力、发展思维的目的. 善于进行解题后的规律总结，无疑对学习能力的提高和思维的发展是大有裨益的.

已知定点A（4，0）和曲线C：x2+y2=4上的动点B，点P是线段AB的中点，求动点P的轨迹方程.

这类轨迹方程问题的特点是：①所求的动点随着已知动点的运动而运动；②已知动点在已知曲线上运动.

它的一般解题步骤是：①设所求轨迹上的任意一点为P（x，y），相对应的已知曲线上的点为Q（x1，y1）；②建立关系式x1=g（x，y），y1=h（x，y）；③将以上的两个式子代入已知曲线方程中并化简，即得所求轨迹的方程. 以后再遇到这类问题就可以用这种方法求解了.

3. 反思解题的方法

一般数学题，可能会有多种不同的解法，在解题时，往往是用最先想到的方法进行求解，最先想到的方法往往是最熟悉的方法，但并不一定是最理想、最简单的方法. 因而解完一道题后应充分运用所学知识，从不同角度利用不同的思路进行思考、观察、联想，探究不同的解题途径.养成这种习惯，可提高发散思维能力，使解题方法灵活多变.

已知复数z的模为2，求z-i的最大值.

解法一（代数法） 设z=x+yi（x，y∈R），则因为y≤2，所以当y=-2时，z-imax=3.

解法二（三角法） 设z=2（cosθ+isinθ），则z-i=■=■. 所以当sinθ=-1时，z-imax=3.

解法三（几何法） 因为z=2，z对应x2+y2=4上的点，所以z-i可看成z和i所对应的点之间的距离. 可知当z=-2i时，z-imax=3.

解法四（运用模的性质） 因为z-i≤z+-i=2+1=3，而当z=-2i时，z-i=3，所以z-imax=3.

通过自我探索，互相交流，得出不同的解题思路. 这样很平常的一道习题，发挥了思考的潜力，把已有的知识在脑中罗列了一遍，并且体会到代数和几何并不完全独立，而是相互联系的. 不过，也并不是所有问题都一味提倡一题多解，而是通过比较，让自己体会哪种方法是通解，哪种方法更为简捷，使得解题思路更清晰、更开阔.

数学题型千变万化，灵活多样但大同小异，把题中的一个条件、一个字改变结果就不同了. 同学们应尽可能多的自己改变题目、题型，解放思想，大胆创新，相互启示，互相交流，以一题之例知百题之解.

已知平面上两定点F1（-5，0），F2（5，0），若MF1-MF2=8，写出动点M（x，y）的轨迹方程，并指出轨迹种类.

根据条件， 将题目改成这样的题组：分别写出动点M（x，y）的轨迹方程并指出轨迹种类：

（1）MF1-MF2=8；

（2）MF2-MF1=8；

（3）MF1-MF2=10；

（4）MF1-MF2=10；

（5）MF2-MF1=2a（a>0，a为常数）.

同学们在学习圆锥曲线的定义时，如果死记硬背，只能做到表面了解，自我感觉懂了，实际上频频出错. 通过对以上问题的讨论和探索，就会对双曲线定义中的“绝对值”“常数”“小于F1F2”等内涵有更深刻的理解，从而培养思维的深刻性.

总之，解题后同学们应不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感.长此以往，逐步养成独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件.