浅谈向量在几何教学中的应用

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2006年，天津市高中全面进入了新课程改革。对于数学学科来说，新课改后加入了很多内容，给数学教学增加了新的挑战。有一些教师，他们习惯了老课本，用惯了老的教学方法，面对新的知识不免有些排斥，比如几何中向量的应用。其实，用向量方法解决几何问题比用传统的方法要简单得多，也为学生解决几何问题提供了行之有效的新方法。

一、在几何教学中引入向量的好处

向量知识在中学有着非常重要的地位和价值，它的工具性特点在数学教学的许多分支都有体现。几何中向量的引入将使数学“数形结合”思想得到新的解析，为在数学中贯彻“数形结合”思想提供了一种崭新的方法。

向量具有两种特性：一是“数”的形式，利用一个实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向的性质；二是“形”的状态，利用一条有向线段来表示一个向量的性质。这两种特性联系密切，可以利用简单的运算进行相互转化。可以说，向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带，它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使分析思路和解题步骤变得简洁、严密，使学生从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出准确的结论。

二、平面向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用是以平面几何的基本图形（三角形、平行四边形、梯形等）为背景，重点考察平面向量的几何运算、坐标运算和几何图形的性质。例如，在平行四边形ABCD中，EF在对角线BD上，并且BE=FD，求证四边形AECF是平行四边形。以前，教师教学生证明这道题时要用到平行四边形的性质和三角形全等的判定定理，不仅方法繁琐，而且学生也不容易掌握知识。如果用向量证明，仅需要用向量加法运算及交换律即可，方法简单，同时提高了解题速度。教师在教学生用平面向量解决平面几何问题时要注意以下三点。

1.明确向量回路是向量解几何问题区别于其他解题方法的本质特点，所谓向量回路是指向量加法的三角形法则。也就是说，向量与三角形都存在首尾相接的闭合回路，而三角形是最基本、最重要的几何图形，从这个意义上我们就不难看出向量回路在向量解几何问题中的重要性了。

2.平面向量解平面几何题是把几何的基本元素归结为向量，然后通过向量的运算和讨论，从而得到几何结论，因此，用向量法解几何题时，要把向量的代数表示式的几何意义时时放在心中。

3.弄清用平面向量解决平面几何问题的三个步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转换为向量问题；通过向量运算研究几何元素之间的关系；把运算结果转化为几何关系。

三、空间向量在立体几何中的应用

用空间向量处理立体几何问题，可以为学生提供新的视角，开拓新的思路。在空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系等几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。

从运用向量解题的方法和未运用向量的解题方法的比较中，可以看到向量解题的优势就在于运用向量公式的简单变形就解决了一个通过繁琐解析几何分析方能解决的问题。同样，这一思想也是对笛卡尔“变实际问题为数学问题，再变数学问题为方程问题，然后只需求解方程便可使问题得以解决”这一数学思想的完美体现。

立体几何的计算和证明常常涉及两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、面面垂直，线线平行、线面平行、面面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面、面面所成角度等。通过空间直角坐标系，把几何问题转化为简单的代数计算，由于学生对于代数运算相对较熟悉，因此用向量的方法进行计算或证明就变得更简便。这里主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角、线面角和二面角。用传统的方法解决这些问题，学生需要背多个定理，而且还要有极强的空间想象力。尤其是找二面角的平面角，利用三垂线法找二面角的平面有时需要作三条辅助线，好多学生不能掌握这种方法，因此也就计算不了角的大小，面对考试中的这个难点就选择放弃。如今学习了空间向量，只要学生能理解直线的方向向量、平面的法向量的定义，会用公式，就能把线线角、线面角、二面角计算出来。虽然向量法计算量比较大，但大部分学生都能掌握这种方法，也增强了学生学习立体几何的信心。

在教学中，只要教师在坚持广泛应用向量方法的基础上，让学生掌握向量的思想方法，并借助于向量，运用联系的观点、运动的观点、审美的观点，进行纵横联系、广泛联想，将各部分的数学知识、数学思想方法进行合理重组和整合，充分展示应用向量的过程，体现向量法解题的简单美和结构美，就能充分体现“向量”在提高学生数学能力方面的教学价值。