浅谈洛朗定理与留数定理的关系

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摘 要：本文通过对洛朗定理与留数定理的比较，发现它们虽然都能进行积分计算，但存在复杂与简单、直接与间接的差异，通过分析得到了如下结论，洛朗定理是留数定理进行积分计算的本质和保证，留数定理是洛朗定理进行积分计算的方便应用。

关键词：洛朗定理 留数定理 积分计算

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0091-01

洛朗定理：设在圆环域 内处处解析，那么，其中，.特别的，令，计算沿的积分可转化为求被积函数的洛朗展式中的系数。

留数定理：设函数在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，是内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么，其中，为在

内的洛朗展式中的系数。

1 问题

洛朗定理是级数理论的重要内容，留数定理是积分理论的的重要内容，两个定理都可以计算复变函数的积分，它们之间有什么关系？初学者往往对此问题感到困惑，这影响了复变函数理论的掌握，以下作者对此问题给出解答，从而让大家对复变函数的重点内容――积分的计算有清晰明了的认识，接下来就通过一个例题来说明这两个定理是如何进行积分计算的。

2 例题

例：计算积分，其中为正向圆周。

解法1：因为被积函数的奇点有，，故其在内解析，且在此圆环域内，所以被积函数在此圆环域内洛朗展式的的系数乘以即为所求的积分值。

，

由此可见，故

。

解法2：因为被积函数的奇点有，，将圆环域换成，函数仍解析，在此圆环域内，同理可得，

，

，

由此可见，故

。

法3：因为被积函数的奇点有，，都在内，计算

，

，

故由留数定理，可得

由此可见，利用洛朗定理进行积分的计算时，关键是找到被积函数解析的圆环域，这可以通过讨论被积函数的奇点就不难确定，但需要找到的圆环域包含闭曲线，这就不是一件容易的事，初学者往往很头疼。当然，只要找到了这样的圆环域，就可以把函数进行洛朗展开寻找其系数就行了；而利用留数定理进行积分的计算则需要两步，第一步需要找到内所有有限奇点，第二步计算留数，当然留数的计算仍需要在奇点的去心邻域内对函数进行洛朗展开。

看起来利用洛朗定理要直接简单，利用留数定理要绕弯，但实质上，由于寻找函数的洛朗展开的解析区域并不容易，而且不确定是那个区域合适，需要具体分析，这使得洛朗定理直接计算积分并不常用；而留数定理虽分为两步，也需要洛朗展开求留数，但都是在奇点的去心邻域展开的，是确定的区域，而且还可以发展延伸出更方便、快捷的计算方法，由于其有规范明确的程序化步骤可循，使得留数定理在积分的计算中易于大家掌握，从而起到了主导的地位。

3 结论

由以上两定理可得，，所以留数定理是将洛朗定理中的求法简化，细化为内每一个孤立奇点处的留数之和，它们的实质是一致的，归根到底，都是利用函数的洛朗展式进行积分的计算，所以洛朗定理是复变函数积分计算的基础和出发点，洛朗定理是留数定理进行积分计算的本质和保证，而留数定理使洛朗定理进行积分计算的方便应用，没有洛朗定理，就没有留数定理，就没有复变函数积分的计算，而没有留数定理，就没有复变函数积分的广泛应用。

注：洛朗定理可以涵盖柯西定理：因为函数在闭曲线内处处解析，故只能在解析点进行泰勒展开，无负幂项，即，故。

参考文献

[1] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 陆庆乐，王绵森.复变函数[M].北京：高等教育出版社，1996.