融会知识明悉学情贯通方法

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【摘 要】“备课”作为教学的前置环节，其深度对于课堂教学至关重要。高中数学教学备课要注重数学的“整体性”，学生的“可塑性”和教法的“互通性”。本文以“极坐标系”一节的备课过程为例，探讨深度备课的具体策略和方法。

【关键词】深度备课；教学设计；高中数学

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）54-0030-02

【作者简介】李净，南京市第九中学（南京，210018）教师，一级教师。

如果说课堂是师生间思维相互碰撞，情感彼此交流的舞台，那备课就是教师进行创作、反复彩排、不断调试的过程。好的创作离不开对素材（学科知识）的研究，对观众（学生）的了解和对表现方式（教法）的琢磨。“备课”作为教学的前置环节，其深度对于课堂教学而言非常重要。那么如何才能在备课的过程中体现深度呢？笔者认为有以下三个基本原则。

一、舒经通络知全貌――备出数学的“整体性”

数学具有整体性的特征。它不仅体现在数学学科知识之间的关联性和系统化，更体现在数学核心概念所反映的数学思想方法的一致性上。因此，深度备课不仅仅局限于所教内容本身，还应包括其所在章节的系统知识框架，与所教知识相关的数学学科知识、相关数学史和数学发展的前沿动态，与其他学科相关联的知识和应用范围。所以，当教师备课时不仅仅局限于所教学科知识本身，而是以整体的观点全局考虑问题，融会各方面相关知识形成系统时，才能更有效地培养学生的学科素养，为学生综合能力的生成提供学科支持，实现真正的深度学习。

二、追根溯源明学情――备出学生的“可塑性”

学情是教学设计的珍贵源泉，它理应成为教师备课的首要参考。学生的认知规律如何，思维方式怎样，情感需求有哪些，对已学过的相关知识的掌握情况如何……这些内容应当作为教师备课时进行教学预设的一个重要方面。通过倾听学生的问题，观察学生的课堂行为表现，检测学生的学习效果，根据学生的“最近发展区”设定恰当的教学目标，安排适当的教学内容，选择合适的教学方法，尽可能地达到目标让学生明确，问题让学生提出，过程让学生参与，规律让学生发现的要求。

三、教、学合一讲方法――备出教法的“互通性”

在实际教学中，许多教师都会陷入短期学习效果和长期能力培养的矛盾。教学中应更侧重知识，还是更关注方法？华东师范大学叶澜教授认为：一门学科对学生发展的价值，除了学科领域的知识以外，从更深的层次看，还应该为学生认识世界和解决问题提供独特的视角、思维的方法和特有的逻辑。传统的“一个定义、三项注意、几道例题、大量练习”式的教学或许可以“授之以鱼”，却无法“授之以渔”。殊不知“磨刀不误砍柴工”，对学生数学学习能力和学习方法的培养可以促进学生举一反三、融会贯通，甚至做到一通百通。从这个意义来说，教学教的不仅仅是知识，更是学习数学的方法。因此，备教法首先要备学法，学法与教法应当是互通的。为促进学生深度学习而教的教法才是最为科学有效的。

明确了深度备课的原则，那么在教师日常的备课中，该如何将这些原则加以应用呢？下面以“极坐标系”一课为例谈谈具体的应用策略。

数学家哈尔莫斯说：问题是数学的心脏。只有感受心脏的跳动，才能感受数学的活力。在我看来，问题不仅仅是学生学习的动力之源，更是教师教学和研究的命脉。而备课的过程事实上是教师以所教内容为载体，以学生的认知现状为起点，以提高学生学力为目标，不断提出问题并解决问题的过程。可以说，备课的深度取决于教师提问的高度和解答问题厚度。那么“极坐标系”一课我们可以提出哪些问题，又该如何回答呢？

问题1：什么是极坐标系？它的知识体系是怎样的？

单节知识只有放在学科知识的整体中才能更宏观地了解它的来龙去脉，知晓脉络方能形成体系。通过研读教材，我们可以得出：极坐标系是以“距离”和“角度”对平面内的点进行定位的建系方式。本节源于苏教版高中数学选修4-4的第一章。这一章包括三块内容：（1）直角坐标系；（2）极坐标系；（3）球坐标系与柱坐标系（不作要求）。三块内容属于并列关系。其中“极坐标系”起着承上启下的作用。它一方面是“平面解析几何初步”和“圆锥曲线与方程”的拓展和延续，和“平面向量”“三角函数”等知识有着千丝万缕的联系；另一方面，它也是下一章学习“曲线的极坐标方程”的基础。

问题2：为什么要学习极坐标系？

高二的学生已经具有了解析几何等知识储备，但是由于学生对平面直角坐标系已经有了较为深入的认识和学习依赖，很可能对突如其来的“极坐标系”产生心理上的排斥，会产生“为什么要学习一种新的坐标系？”，“这样建系有什么作用？”，“比起直角坐标系，极坐标系有什么优点？”等一系列疑问，从而无法领悟到学习多种坐标系的必要性，更无法进行有意义的深度学习。

通过对教材的研读和极坐标系相关资料的研究，我们可以看出极坐标系与其他坐标系（比如直角坐标系）一样，也是数学中确定平面上点的位置的重要参照系统。是利用“方向”和“距离”来表示平面上点的位置，这在数学、物理、工程、航海、航空等许多领域上都有应用，十分贴近生活。对于数学中的运动问题来说，参照系的选择对于运算的难易程度影响很大。直角坐标包含着到两坐标轴的距离等信息，更适合解决函数问题和点的平移变换。极坐标则包含着极径和极角等信息，在一些与长度、角度有关的旋转问题或点的旋转变换中更能体现出优势。

问题3：怎样学习极坐标系？使用哪些方法？

学习方法的重要性往往胜于知识本身。与其他学科相比，数学这一学科具有很强的整体性，许多新知识就是在学生已有的知识基础上形成和不断发展起来的，这就需要我们建立知识间的联系。而建立的方法可以利用两个极其重要的思想方法：类比和化归。

类比是利用知识间类型的相似性来研究问题的方法。事实上，学生在学习极坐标之前已经有数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系等多个知识的储备。这些知识的研究内容和研究方法均是可以借鉴、利用的宝库。比如我们研究数轴，要制定数轴的基本规则，诸如原点、正方向和单位长度；要知道如何用数轴上的点来表示实数；要能够通过数轴来刻画区间……我们研究平面直角坐标系，要确定建系的规则；知道如何用有序实数对来表示平面内的点，学会用方程来表示曲线，用不等式组来刻画平面区域……同样的，我们可以类比得到，我们研究极坐标系要制定出合乎要求的建系规则；能够用极坐标表示平面内的点；可以用极坐标方程表示平面内的曲线……正如在学习了平面直角坐标系以后，我们很多的研究方法和结论都可以推广到空间直角坐标系中去一样，极坐标系的研究方法也是有共通性的。

所谓“化归”可理解为转化和归结的意思。在数学方法论中所论及的化归方法，是指数学中把待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。坐标系是运用代数方法解决几何问题的桥梁。它的发明为解决几何问题寻找了一种普遍有效的方法，并且把几何问题转化为代数问题，体现化归的思想。第二节“极坐标系与直角坐标的互化”更是体现了将极坐标这一新知识转化为直角坐标这一旧知识来解决问题的化归策略。

备课不仅要“备其然”（所教知识的表面内容），还要“备其所以然”（所教知识的本质内容及产生原因），更要“备其何以所以然”（学生学习所教知识的方法）。通过融会知识，明悉学情，贯通方法，针对所教内容和学生学情进行深度备课，才能打造出真正的精品课堂。