解函数题应有的六种意识
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函数是高中数学的重要内容,在高考中函数可以独立命题,也可以函数为载体,综合其他数学知识构筑成知识网络型代数推理题?郾 如何快速解函数题呢?下面以2010年高考题为例,总结出六种必须具有的解题意识,旨在强化同学们解此类题的目的性及方向性,促进解题能力的提高?郾
一、回归定义的意识
回归定义是一种最基本、最原始的解题方法,理解定义、活用定义是数学解题的一把金钥匙?郾
例1 (1) (广东卷)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()
A?郾 f(x)与g(x)均为偶函数?摇?摇 B?郾 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
C?郾 f(x)与g(x)均为奇函数?摇?摇 D?郾 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
(2) (重庆卷) 函数f(x)=■的图象()
A?郾 关于原点对称 B?郾 关于直线y=x对称
C?郾 关于x轴对称 D?郾 关于y轴对称
分析 利用奇偶函数定义即可解决?郾
解 (1) f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x)?郾 由奇偶函数的定义知,选D?郾
(2) f(-x)=■=■=f(x), f(x)是偶函数,图象关于y轴对称?郾 故选D?郾
评注 在解决函数问题时,紧扣映射、函数的定义,奇偶函数的定义等,往往能深入理解问题的本质,使问题迎刃而解?郾
二、适当赋值的意识
例2 (山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()
A?郾 3?摇 ?摇 B?郾 1?摇?摇 C?郾 -1?摇?摇 D?郾 -3
分析 由奇函数f(-x)=-f(x),再令x=0及-1即可得解?郾
解 因为f(x)在R上为奇函数,取x=0,有f(0)=0,即f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1?郾
再取x=-1,则f(-1)=-f(1);又当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3?郾 故选D?郾
评注 应注意隐含条件当x≥0时,才有f(x)=2x+2x-1,对于f(-1)应加以转化?郾
例3 (重庆卷)已知函数f(x)满足:f(1)=■,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)=?郾
分析 对x,y进行赋值,观察出f(x)的周期性,从而求得f(2010)?郾
解 取x=1,y=0,得f(0)=■;
取y=1,则f(x)=f(x-1)+f(x+1),即
f(x+1)=f(x)-f(x-1)?郾
再取x=1,得f(2)=-■;
取x=2,得f(3)=-■;
取x=3,得f(4)=-■;
取x=4,得f(5)=■;
取x=5,得f(6)=■;
依此类推,可知f(x)函数值的周期为6?郾
故f(2010)=f(6×335)=f(0)=■?郾
点评 本题多次运用赋值法,由4f(x)・ f(y)=f(x+y)+f(x-y),赋值y=1,由f(x+1)=f(x)-f(x-1),再多次赋值x=1,2,3,4,5,找出f(x)的周期,从而使问题解决?郾
三、借助坐标的意识
例4 (1) (上海卷)对任意不等于1的正数a,函数f(x)=log■(x+3)的反函数的图象都经过点P,则点P的坐标是 ?郾
(2) (全国卷Ⅱ)函数y=■(x>1)的反函数是()
A?郾 y=e2x+1-1(x>0)?摇?摇 B?郾 y=e2x-1+1(x>0)
C?郾 y=e2x+1-1(x∈R)?摇?摇 D?郾 y=e2x-1+1(x∈R)
分析 可以不求f(x)的反函数解析式,用“坐标意识”解决问题?郾
解 (1) 令x+3=1,得x=-2,y=0,即函数f(x)=loga(x+3)过定点 (-2,0),于是点(0,-2)在y=f-1(x)上,即反函数的图象都经过点(0,-2)?郾 故填(0,-2)?郾
(2) 点(2,■)在原函数上,则(■,2)在反函数图象上,则排除A、C;又点(1+■,0)在原函数上,则(0,1+■)也在反函数图象上,则排除C?郾 故选D?郾
点评 利用“坐标意识”解决反函数求值、定点问题极其简捷有效. 点(a,b)在原函数f(x)图象上,则(b,a)在其反函数的图象上,即f(a)=b?圳f-1(b)=a?郾
四、数形结合的意识
函数的图象能直观地显示函数的一些特征,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具?郾
例5(新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|lgx|,010?郾若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()
A?郾 (1,10)?摇?摇 B?郾 (5,6)?摇?摇 C?郾 (10,12)?摇 D?郾 (20,24)
分析 画出分段函数的图象,由图象直观解决?郾
解 函数f(x)的图象如图所示,不妨设a
评注 利用图象可以直观发现a,b,c三个数值的范围及关系?郾
五、分类讨论的意识
分类讨论是重要的数学思想方法,它能分解问题,化整为零,将问题各个击破?郾
例6 (天津卷)若函数f(x)=log■x, x>0,log■(-x), xf(-a),则实数a的取值范围是()
A?郾 (-1,0)∪(0,1)?摇?摇 B?郾 (-∞,-1)∪(1,+∞)
C?郾 (-1,0)∪(1,+∞)?摇?摇 D?郾 (-∞,-1)∪(0,1)
分析 应对a进行讨论,并结合函数的单调性来解决?郾
解 (1) 当a>0时,由f(a)>f(-a),得log2a>log■a,即log2a>log2■,则a>■,解得a>1;
(2) 当af(-a),得log■(-a)>log2(-a),即log2(-■)>log2(-a),则-■>-a,解得-1
综上可知,a>1或-1
评注 分段函数问题一般通过分类讨论的方式求解. 解对数不等式既要注意真数大于0,同时要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错?郾
例7 (安徽卷)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是()
分析 可利用抛物线与y轴交点的纵坐标即c进行讨论?郾
解 abc>0,
若c>0,则ab>0,对称轴x=-■
若c
评注 对于二次函数图象的讨论,可按开口方向进行讨论,即分a>0或a
六、运用导数的意识
由于导数应用的广泛性,为解决函数问题提供了一般性的方法,能简捷地解决一些实际问题,因此在解决函数问题时,应有运用导数的思想意识?郾
例8(新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)=ex-1-x-ax2?郾
(Ⅰ) 若a=0,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围?郾
分析 如果题目中出现切线、单调、极值这三个词,我们应该想到导数这一工具?郾
解(Ⅰ) a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1?郾
当x∈(-∞,0)时,f′(x)0?郾
故f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加?郾
(Ⅱ) f′(x)=ex-1-2ax,
由(Ⅰ)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立?郾
故 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,
从而当1-2a≥0,即a≤■时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,
于是当x≥0时,f(x)≥0?郾
由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0)?郾
从而当a>■时,f′(x)
故当x∈(0,ln2a)时,f′(x)
综合得a的取值范围为(-∞,■]?郾
评注 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导?郾 如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)
①运用导数判断单调区间;
②证明单调性;
③已知单调性求参数;
④先证明其单调性,再运用单调性证明不等式等问题?郾