“函数y=f(x)”解码

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摘 要：本文通过对函数y=f（x）的解码，解读了函数y=f（x）的容易性、简捷性，变抽象性为具体性、丰富性、可操作性，诠释了函数y=f（x）相关问题的准确性.

关键词：函数y=f（x）； 解码；变量；对应关系；定义域；“f”；赋值；复合函数y=f（g（x））

在中学教学的实践中，函数一直以来都是初高中教学的一个非常重点的内容.严格意义上说，初中的函数和高中的函数在本质上是没有什么区别的，但是，一个在初中学习函数感觉非常轻松的学生，到了高中后，感觉比较吃力，综合二十多年的一线教学感悟，笔者在这里对函数y=f（x）从=、f（x）、f、x、（ ）、y=f（x）六个方面进行解码，谈谈函数的本质特征，探究初高中函数一脉相承的内在逻辑联系.

1. 解码函数y=f（x）中的=：y=f（x）从左边到右边就是将初中的“y是x的函数”中的“y”变为高中阶段的f（x）；从右边到左边就是将高中阶段的f（x）变为初中的“y是x的函数”中的“y”. 这从等号的意义可以使高中学生学习这一符号语言不感到神秘抽象，能从初中所学自然过渡到高中的学习，从而降低了高中学习函数的难度. 通过这一等号功能将学习函数y=f（x）的难度降低，变得更加容易了.

2. 解码函数y=f（x）中的f（x）：函数y=f（x）能比较直观地把初中函数的文字语言变为高中函数的符号语言. 如：在初中，已知二次函数y=x2+2x+3，当x=3时，求y的值，而到了高中，此题变为已知二次函数f（x）=x2+2x+3，求f（3）的值. 通过初中函数的文字定义化为高中的符号定义，解码了函数y=f（x）的简捷性.

3. 解码函数y=f（x）中f：f（x）中的“f”是初中传统函数中的“某一变化过程”，而这一变化过程所反映出的就是函数的表示方法的三种形式：解析法、列表法、图象法.也是高中近代函数“特殊映射”所反映的对应关系，其表示方法的三种形式仍是：解析法、列表法、图象法.但高中函数y=f（x）呈现了以下三个特征：

第一，解析法中表达式可以把初中所学的一个解析式变为多个解析式表示，即分段函数，如：已知f（x）=x2+2x+3，x∈[3，+∞），

0，x∈（-2，3]，

，x∈（-∞，-2]，求：f（5），f（1），f（-3）的值；

第二，解析法中表达式可以把初中所学的一个解析式变为不知道的，即抽象函数，如：

已知函数f（x）满足：f（xy）=2f（x）+f（y），f（2）=3，f（3）=π，求f（36）的值；

第三，解析法中表达式仍可以保留初中所学的一个解析式，如：

f（x）=x+，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）.

通过以上的三种呈现方式，把函数y=f（x）的抽象性化为具体性.

4. 解码函数y=f（x）中的x：函数y=f（x）中的变量x具有赋值功能.

如果x赋值具体的数，就是求函数的值，

如：已知f（x）=2x+，求f（5），f（f（3））的值.

如果x赋值为字母而不是变量，仍旧是求函数的值，

如已知：f（x）=x2-3，求f（a），（2a+3）.

如果x赋值为函数，就产生一个新的函数，

如：已知函数f（x）=2x+1，求f（x2+3x）.

如果x赋值为与x相关的量，还会产生函数的奇妙性，

如已知函数y=f（x）满足2f（x）+f

=3x，求f（x）.

分析思路：由于条件的信息只有这个表达式，如果把f（x）看成m，把f

看成n，此表达式就可看成一个二元一次方程，要求m就差一个方程，因而就差一个与之相关的方程，此题只有x与之间有变量间的联系，故把x赋值得：

2f

+f（x）=，比较两式利用方程组思想可得：f（x）=2x-. 通过以上变量x的赋值功能，解码了函数y=f（x）的内容的丰富性.

5. 解码函数y=f（x）中的（ ）：f（x）中的“f作用下的”括号具有整体. 这个括号相当于一个“文件夹”（注这是一个特殊的文件夹，其特殊性就相当于一个房间，不管房间装的是什么数集，但它总在这一个房间变化内而不会超越）即“f作用下的”的括号的范围是一样的. 如果“文件夹”里面装的是x，就是初中所学的函数直接反映自变量x与因变量y之间的关系；如果“文件夹”里面装的是函数g（x）就是高中阶段所学的复合函数y=f（g（x））. 这时我们把“文件夹”看做变量t的话就是初中所学的“y是t的函数，t是x的函数”两次复合而成的，这时的t就是一个桥的作用，如果把这一桥拆掉仍是“y是x的函数”，这只不过反映出复合函数y=f（g（x））比初中函数其变化过程复杂而已. 再者我们把y是t的函数作为外函数，t是x的函数作为内函数，这时外函数的f是对“文件夹”而不是直接对“x”而言，这体现括号的整体.如已知f（x+1）=x2+2x，这时“f”的含义不是变量的平方与变量的两倍的和，而是变量的平方与1的差，即f（x）=x2-1（其方法为换元法）；又如：已知复合函数y=f（g（x））的定义域不妨设为（a，b]，求复合函数y=f（h（x））的定义域.

分析思路：定义域是指变量x的范围，此题的条件与结论的唯一联系是两个不同复合函数的外函数是一样的，所以f作用下的“文件夹”的范围是一样的，故其思路图如下：

例如：已知复合函数y=f（x2+2x）的定义域为[-1，3]，求y=f（2x+6）的定义域.

解：因为-1≤x≤3，-1≤x2+2x≤15，

所以-1≤2x+6≤15，解不等式得：-≤x≤，所以y=f（2x+6）的定义域为

-，

.

通过以上f（x）中的“f作用下的”括号的整体解码了已知复合函数y=f（g（x））求f（x）以及求复合函数y=f（g（x）） 的定义域这两大难点，使其抽象性变为了可操作性.

6. 整体解码函数y=f（x）：在函数的三要素（定义域、对应法则、值域）中，值域是因函数的定义域、对应法则的确定而确定，故其实质就只有定义域和对应法则两个核心要素，因而在解决函数相关问题时定义域与对应法则是“成对”出现而不能分离. 传统函数定义中的变量x在某一范围内取值明确了函数的定义域，而高中函数y=f（x）中是隐含了函数的定义域，在教学中不注意这点学生很容易产生错误. 如（1）：求函数f（x）=x2-4ln（x-1）的单调递增区间，学生常出现的解法为：因为f ′（x）=2x-≥0，不等式的的解集为[-1，1）∪[2，+∞），所以所求函数的单调递境区间为：[-1，1），[2，+∞）. 此解法没有注意定义域为（1，+∞），其正确答案应是[2，+∞）；再如，设函数f（x）=x--alnx（a∈R），讨论f（x）的单调性.

学生常出现的解法：f ′（x）=1+-=，令g（x）=x2-ax+1，其判别式Δ=a2-4.

（1）当a≤2时，Δ≤0，f ′（x）≥0，故f（x）在R上单调递增.

（2）当a2时，Δ>0， g（x）=0的两个根为x1=，

x2=. 当x0；当x1

-∞，

，

，+∞

上单调递增，f（x）在

，

上单调递减.

从此题的解法来看忽略了f（x）的定义域为（0，+∞）这一条件，分类讨论情况的种类不一样，而以上解题过程的每一种情况的答案都明显有问题，其难度也明显降低了（因为如果方程有两个不等根，那么这两个根是否在其定义域内，对此没有讨论）， 如注意定义域为（0，+∞）这一条件，则其正确解法如下：

f（x）的定义域为（0，+∞）

f ′（x）=1+-=. 令g（x）=x2-ax+1，其判别式Δ=a2-4.

（1）当a≤2时，Δ≤0，f ′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增.

（2）当a0，g（x）=0的两个根都小于0，在（0，+∞）上f ′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（3）当a>2时，Δ>0，g（x）=0的两个根为x1=，x2=

当0

所以f（x）分别在

0，

，

，+∞

上单调递增，f（x）在

，

上单调递减.

通过以上两个不同题的解会发现学生只关注了解析式而忽略了函数y=f（x）中隐含的定义域而导致错误，因而在其教学中应强调函数y=f（x）的定义域与对应法则“成对”，由此解决函数y=f（x）相关问题的准确性.

综上所述，笔者在函数定义的研究过程中，从六个方面逐一解剖了函数y=f（x）每个符号的含义，并且从整体上探究了函数y=f（x）三要素的内在联系，让我们明确了函数的本质特征，化抽象为具象，让教师在教学中，不仅能够更清晰地分析教材，而且能够指导学生高屋建瓴地灵活运用函数的概念，把握函数的变化，以不变应万变，给学生最明确的解题思路和方法指导，轻松解决函数定义相关的一系列问题. 本文如果能够给教师和学生带来一些方便，实属万幸，如果有不当之处，请各位同行指正.