“一题多变”看三角变换
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我们知道，所谓三角变换，就是依据三角公式“变角、变名、变结构”.有道是“戏法人人会变，就看你怎么变”，让我们一起来探讨.
【例】 求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值.
【分析】 本例属非特殊角三角函数求值问题，一般可通过“变角”变出特殊角，或通过改变式子结构，利用整体思想求值.
【解析】 解法1：因为40°=30°+10°，于是
原式=sin210°+cos2（30°+10°）+sin10°cos（30°+10°）=sin210°+（312cos10°-112sin10°）2+sin10°·（312cos10°-112sin10°）=314（sin210°+cos210°）=314.
解法2：令sin10°=a+b，cos40°=a-b，则
a=112（sin10°+cos40°）=112（sin10°+sin50°）=sin30°cos20°=112cos20°，
b=112（sin10°-cos40°）=112（sin10°-sin50°）=cos30°sin（-20°）=-312sin20°.
原式=（a+b）2+（a-b）2+（a+b）（a-b）=3a2+b2=314cos220°+314sin220°=314.
解法3：设x=sin210°+cos240°+sin10°cos40°，y=cos210°+sin240°+cos10°sin40°，则
x+y=1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°=2+sin50°=2+cos40°，
x-y=cos80°-cos20°-112=-sin50°-112=-cos40°-112，
因此，2x=312，x=314.
【点评】 解法1通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式.当然运用降次、和积互化也是一般方法.解法2运用方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美.解法3利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明.
三种解法，奥妙无穷.你能根据以上解法，解决下列问题吗？
【变式1】 求cos273°+cos247°+cos47°cos73°的值；
【分析】 虽然本题给出的式子与例题相比，函数名发生了变化，但式子结构相同，故与例题的解法相似，下面模仿解法1来解.
【解析】 因为47°=120°-73°，于是原式=cos273°+cos2（120°-73°）+cos73°cos（120°-73°）
=cos273°+（-112cos73°+312sin73°）2+cos73°·（-112cos73°+312sin73°）
=314（sin273°+cos273°）=314.
【变式2】 求sin2α+cos2（α+60°）+3sinαcos（α+60°）的值；
【分析】 本题的结构与例题完全一致，不同的是角中变成了参数，但两角之差依然是特殊角，故与例题的解法仍相似，下面模仿解法3来解.
【解析】 设x=sin2α+cos2（α+60°）+3sinαcos（α+60°），
y=cos2α+sin2（α+60°）+3cosαsin（α+60°），则
x+y=1+1+3sinαcos（α+60°）+3cosαsin（α+60°）=2+3sin（2α+60°）=2+312sin2α+312cos2α，
x-y=-cos2α+cos（2α+120°）+3sin（-60°）=-cos2α-112cos2α-312sin2α-312
=-312cos2α-312sin2α-312，
两式相加得，2x=112x=114.
【变式3】 若x+y=2kπ+π13（k∈Z），则sin2x+sin2y+sinxsiny为定值314；
【分析】 本题式子的结构与例题相似，而两角之和是定值，又是特殊角，因此仍可尝试第三种解法，即构造对偶式来证明.
【证明】 令a=sin2x+sin2y+sinxsiny，b=cos2x+cos2y+cosxcosy，则
a+b=2+cos（x-y）（1），
a-b=-cos2x-cos2y-cos（x+y）=-2cos（x+y）cos（x-y）-cos（x+y），
又x+y=2kπ+π13（k∈Z），故cos（x+y）=112，
所以a-b=-cos（x-y）-112（2），
于是，（1）+（2）得2a=312，故a=314，即sin2x+sin2y+sinxsiny为定值314.
【变式4】 求证：不论α，β取何值，sin2αsin2β+cos2αcos2β-112cos2αcos2β总为定值.
【分析】 本题所给式子的结构似乎与变式3相似，其实“失之毫厘，差以千里”.解答本题我们必须“另起炉灶”，但三角变换不外乎“三变”：变角、变名、变结构.观察本题可见，有角的二倍关系，可考虑应用倍角公式；有幂次关系，可考虑降幂；函数名称有正弦、余弦，可异名化同名等等.
【解析】 解法1：（从“角”入手，复角化单角）
原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-112·（2cos2α-1）（2cos2β-1）
=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-112·（4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1）
=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-112
=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-112
=sin2β+cos2β-112=1-112=112.
解法2：（从“名”入手，异名化同名）
原式=sin2α·sin2β+（1-sin2α）·cos2β-112cos2α·cos2β
=cos2β-sin2α（cos2β-sin2β）-112cos2α·cos2β
=cos2β-cos2β·（sin2α+112cos2α）
=1+cos2β12-cos2β[sin2α+112 （1-2sin2α）]
=1+cos2β12-112cos2β=112.
解法3：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=1-cos2α12·1-cos2β12+1+cos2α12·1+cos2β12-112cos2α·cos2β
=114（1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β）+114（1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β）-112·cos2α·cos2β
=114+114=112.
解法4：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=（sinα·sinβ-cosα·cosβ）2+2sinα·sinβ·cosα·cosβ-112cos2α·cos2β
=cos2（α+β）+112sin2α·sin2β-112cos2α·cos2β
=cos2（α+β）-112cos（2α+2β）
=cos2（α+β）-112·[2cos2（α+β）-1]=112.
【评注】 对一个题目的解题方法，由于侧重角度不同，出发点不同，化简的方法也不唯一.对于三角函数式化简的目标是：1.次数尽可能低；2.角尽可能少；3.三角函数名称尽可能统一；4.项数尽可能少.
（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学）
（上接第39页）
性质.事实上，由题设知b>a，于是∠B>∠A，显然∠A=150°是不可能的.
正解：由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos15°
=4+8-2×2×22×6+214=8-43.
c=6-2.
又由正弦定理，得sinA=asinC1c=112.因b>a时，∠B>∠A且0°
∠A=30°.
误区警示：在解三角形时，我们应注意是否满足三角形的有关性质，如“大边对大角”、“三角形两边之和大于第三边”、三角形的内角和定理等，需格外关注各条件之间的制约性.