平方根与立方根的联系与区别

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平方根和立方根是学生学习中两个很重要的概念。理解和掌握这两个概念，对于今后根式的学习起到很关键作用。由于很多学生对概念理解不深刻，容易混淆，在做作业的过程中，常出现这样或那样的错误。为了弄清平方根和立方根的区别和联系，把它们联系起来学习。既有利于复习巩固平方根的概念，又有利于理解和掌握立方根的内容，使学生在学习中收到事半功倍的作用。

1.平方根与立方根的概念

（1）平方根定义：

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根（或二次方根）。

即：如果x2 = a，那么x叫做a的平方根。

表示方法：±a （a≥0）

（2）立方根定义：

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根）。

即：如果x3=a，那么x叫做a的立方根。

表示方法：3a （根指数“3”不能省略）

2.平方根与立方根的联系

（1）0的平方根、立方根都是它本身。

（2）平方根与立方根都是开方的结果。

3.平方根与立方根的区别

（1）定义不同

如果x2=a，那么x就叫做a的平方根，例如：因为（-5）2=25，52=25，所以±5就叫做25的平方根。

如果x3=a，那么x就叫做a的立方根，例如：因为（-5）3=125，所以-5就叫做-125的立方根。

（2）被开方数的取值范围不同 ：

负数没有平方根，负数有一个负的立方根，在平方根±a 中，a必须是非负数（a≥0）

在立方根3a 中，a可以取任意数值。

（3）方根的数目不同：

正数有两个平方根，它们互为相反数，正数只有一个正的立方根。

如：

9的平方根是±3 27的立方根是3

（4）算术根不同：

在正数a的平方根±a 中，正的平方根a 叫做a的算术平方根，正数a的立方根3a 就是a的三次算术根。

比较平方根与立方根的不同之处，有利于深刻理解和应用平方根与立方根。而且可以推广应用偶次方根与奇次方根的比较，同时有利于对几次方根和几次算术根的理解，为进一步探究新知作好准备。因此，利用类化的教学方法，培养学生求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并能对生活中的问题作出正确处理。

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