数值分析中关于多项式插值的教学思考
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摘 要： 本文结合数值分析的课程特点和作者教学感悟，以多项式插值教学为例，提出教学思考：注重学生主体地位，引导学生分析算法；重视实验课教学，引导学生深入探究算法改进；结合多媒体教学，利用知识结构之间的联系进行知识迁移。
关键词： 数值分析 多项式插值 教学思考
数值分析不仅是信息与计算科学和应用数学专业的专业基础课，而且是很多工科专业的一门重要课程，是依据数学原理构造算法利用计算机等计算工具求解数学问题数值解的一门科学，是一门应用性非常强的课程，有利于学生实践能力和应用能力的培养。传统的教学方法是教师传授算法，学生似乎“学懂”了，但是在应用中还是不能解决实际数学问题，或者只能依瓢画葫芦，问题稍有变化便束手无策，达不到课程学习的真正目标，对学生能力培养达不到预定的效果。这不得不引起教师对课程教学方法、教学模式的思考。博士生导师万中和韩旭里[1]认为数值分析教学中要强调算法构造的基本思想，算法的创造过程，重视算法的评价和改进方法，以及算法的执行等。学生只有理解了算法的思想和创造过程才能对算法进行改进，针对具体问题才能自己设计算法。所以笔者认为，在实际教学中应该充分发挥课程的特点，充分发挥学生的主体作用，引导学生探究、发现，自己总结规律，在实践中得出结论，这样才能真正学懂这门课程。
多项式插值是数值分析中非常重要的知识点，是函数逼近的一种重要方法。主要内容包括Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段多项式插值等。内容多，理论复杂繁琐，学生在有限的教学时间内掌握有一定困难，因此教学中要合理利用知识体系间的联系，符合学生认知规律，循序渐进地开展教学。下面结合笔者的教学经历、体会和感悟，针对多项式插值教学中遇到的问题提出教学思考与同行一起探讨。
一、通过分析评价算法，激发学生进一步探究热情
学习《数值分析》这门课程必须让学生明白，任何一种新的算法有优越性的同时往往还存在一定局限性，正因为这些局限性的存在才推动算法的不断改进，推动着学科的发展。比如学习分段多项式插值这一节之前，学生已经学习了几种经典的多项式插值，如，Lagrange插值、Newton插值和Hermite插值，对插值逼近思想已有初步了解，那么分段的多项式插值与前面学习的多项式插值有什么联系？学习分段多项式插值的有何必要？为了引导学生弄明白为什么要学习分段多项式插值，我们通过一个例题让学生自己分析算法的不足：用不同次数的Lagrange插值逼近函数1≤x≤1，取等距节点，并分析误差。引导学生探究分析，让学生观察误差的变化，学生会发现：随着插值次数增加时，Lagrange插值误差不但没有减少，在区间的两端点处误差反而增加了，而且随着次数增加波动得越来越大，这与之前学习Lagrange插值时形成的一种认识“增加插值次数可以减少误差”相矛盾。因此一味增加插值次数并不能优化插值效果，由于Lagrange插值Runge现象的存在，有必要对算法进行改进。这种以实例探究，层层深入的方法激发学生进一步学习的热情。
二、利用知识结构之间的联系进行知识迁移，帮助学生理解新知
每门学科知识点之间或者存在某种联系，如果孤立地讲授某一个知识点，学生往往觉得每个知识点都很难，学起来吃力，甚至索然无味，所以教师多总结知识点之间的联系，引导学生探究彼此之间的规律，循序渐进、层层深入，自然而然达到学习目的。比如：分段线性插值其实只是将插值区间分成许多小区间，在每个小区间进行线性插值，所以在构造分段插值函数的折线函数时，类比Lagrange线性插值解析式，将Lagrange插值区间，让学生自己类比得出折线函数解析式。另外，对于分段线性插值基函数的构造，也是学生理解的难点，教学过程中我们同样采用类比的方法，让学生自己总结。我们充分利用知识之间的联系，进行知识迁移，利用类比的方法引导学生自己总结新知，这比直接教给学生效果要好得多。
三、充分利用多媒体等现代教学手段，帮助学生突破难点
多项式插值效果如何，为了让学生更直观地了解可以借助Matlab软件作出函数逼近的效果图，帮助学生理解。又如Runge现象是插值理论中一个重要的知识点，在教学过程中，通过多媒体演示：随着插值节点的增加，Lagrange插值在两端点处波动越来越大。这种直观演示，加深了学生对Runge现象的理解。当然教学过程中，要合理利用多媒体教学，不能因为利用了多媒体而忽略必要的板书，尤其像数学类课程，对于定理证明、计算过程的理解，必要的板书是不可少的。所以，在本节课教学中，我们采用PPT教学和传统板书相结合的教学方法。
四、重视实验课教学，引导学生进行探究性学习
数值分析是一门注重实践、注重学生能力培养的课程，学生学这门课不仅是掌握算法理论，更重要的是解决实际数学问题的求解，所以应该重视实验课教学，学生只有通过实验才能感受算法理论的精妙[2]，才能真正利用算法解决问题。
比如，对Runge现象的理解可以让学生自己做实验去感受；为了比较分段线性插值比高次Lagrange插值效果好，可以让学生用分段线性插值方法自己作出Runge函数，-1≤x≤1的逼近效果图与Lagrange高次插值进行对比。引导学生实验探究：如果不取等距节点而取n+1次切比雪夫多项式的零点，i=0，1，…，n作为插值节点，此时Lagrange插值还会出现Runge现象吗？学生通过自己做实验发现同样取11次的插值，切比雪夫多项式插值效果最好，分段线性插值不是克服Runge现象的唯一方法，这就是我们在后续学习中将学到的最优一致逼近[3]。
参考文献：
[1]万中，韩旭里.《数值分析》课程教学的新认识及改革实践[J].数学教育学报，2008（17）2：65-66.
[2]李光云，李娇芬.数值分析中函数插值实验的教学设计[J].教育教学论坛，2015，6：233-234.
[3]曾金平.数值计算方法[M].长沙：湖南大学出版社，2006，8.
2015年邵阳学院教改项目（邵院教通[2015]49号，NO：2015JG07）；2014年湖南省教改项目（湘教通〔2014〕247号，NO：448）；湖南省教育科学规划课题（NO：XJK014CGD078）。