讨论矩阵的特征值与行列式的关系
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Abstract: Using matrix characteristic value to solve determinant question.
关键词: 矩阵;特征值;特征向量;行列式
Key words: matrix;characteristic value;characteristic vector;feterminant
中图分类号:O13文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)11-0211-01
1引出问题
我们知道,若n 阶方阵A的特征值的λ1,…,λn,则A的行列式A=λ•λ•…•λ,利用这一结果去计算有关的行列式,不仅方法灵活,同时对于知识的前后联系也能有充分的体现。
2举例分析问题
例1[1]设α=(10-1),矩阵A=αα,n为正整数
则aI-A=。
解:αα=10-1(10-1)= 1 0-1 0 0 0-10 1
所以A=αα的三个特征值λ=2,λ=λ=0。
于是aI-A的三个特征值为μ=a-λ(i=1,2,3)。
即μ=a-2,μ=μ=a
故行列式aI-A=μμμ=a2(a-2n)
例2[2]试证明四阶行列式
D= a b c d-ba-dc-cd a-b-d -cb a=(a+b+c+d)
证明令D 相应的四阶方阵为
A= a b c d-ba-dc-cd a-b-d -cb a
因λI0-A=(λ-a)+b+c+d
所以,A 的特征值为
λ=λ= a+i
λ=λ=a-i
于是D=A=λλλλ=(a+b+c+d)(证毕)。
例3[3] 令A=(aij)为n 阶实方阵,其主对角线上的元素都是1,而特征值λ,λ,…,λ均大于0,
那么A?燮1
证明因矩阵 A 的迹T(A)为
T(A)=λ+λ+…λ=a+a+…a=n
又n 个非负数的几何平均值小于算术平均值,所以,
A=λλ…λ=(λ+λ+…λ)?燮=1n=1
即A?燮1(证毕)。
例4[4] 令A为n 阶正定矩阵,B 为n阶实反对称矩阵,B≠0
那么A+B>0。
证明 令λ=a+bii=为的A+B任一特征值,相应的特征向量为α(α≠0),即有
(A+B)α=λα(1)
对(1)取转置得α(A+B)=λα取共轭得
(+)=
因=A=A,=B=-B,代入上式,得
(-)=(2)
以α左乘(1)式的两边得
α(A+B)α=λαα(3)
以右乘(2)式的两边得
(-)α=α(4)
(3)+(4)且注意到λ+=a,则得
α=aα(5)
今设α=β+iγ,其中β与γ分别为α的实部和虚部向量,即β与γ都是n 元实列向量,
这样由(5)式得
+iγA(β+iγ)=aα(6)
由(6)式可得
BAβ+γAγ=aα(7)
因α≠0,则αα>0以及β与γ不全为0,而A 正定,则
BAβ+γAγ>0再由(7)式知α>0
即A+B的任一特征值的实部均大于零。
今设A+B的一切实特征值为λ,λ,…,λ;
而A+B的一切复特征值为ak+ibk,bk≠0,k=s+1,…,n。
于是A+B=λλ…λ(a+b)…(a+b)
α由上知λ>0,ai>0(i=1,2,…,s;j=s+1,…,n)
所以,A+B>0(证毕)。
3结论
利用特征值可以巧妙地解决行列式的问题。
参考文献:
[1]陈文登.数学复习指南,2003 版.
[2]北京大学数学系.高等数学(第二版).高等教育出版社,1988.
[3]吕凤等编.高等数学在中等数学中的应用1000例.东北师范大学出版社.
[4]居余马等.线性代数.北京:清华大学出版社.