矩阵与变换重点解析与典型例题

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矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一，是新课标选修42的内容，要求理科选学的学生掌握，在高考附加题中出现，考试题型为一道解答题，分值为10分．主要的考查矩阵的运算与变换．本文试通过典型例题的分析给同学们分析以指导．

一、有关矩阵的运算

例1 已知矩阵A=100－1，B=12－323212，求矩阵（AB）－1．

分析：途径1：先运算AB，后求新矩阵AB的逆运算（AB）－1；途径2：运用逆矩阵的性质（AB）－1=B－1A－1，先求各自的逆矩阵，后运算逆矩阵的积运算．

解法一：

AB=100-112－323212=12－32-32-12，

得（AB）－1=12－32-32-12－1=12-32－32-12．

解法二：A-1=100－1-1=100－1，B-1=12－323212-1=1232-3212

（AB）－1=B－1A－1=1232-3212100-1=12-32-32-12．

点评：矩阵运算可以看成是矩阵之间的一些最基本的关系，包含二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵与二阶矩阵的乘法以及矩阵的逆矩阵的运算等．

①二阶矩阵与平面向量的乘法abcd xy=ax+bycx+dy；

②二阶矩阵与二阶矩阵的乘法abcd efgh=ae+bgaf+bhce+dgcf+dh；

③矩阵的逆矩阵运算A=abcd，|A|≠0，则A－1=dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc．

二、由变换求新曲线方程

例2 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵2001对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．

分析：平面图形（方程）在矩阵的作用变换下得到新的平面图形（方程），既可以利用一般性的转移法，即设点、找关系、消元；也可以充分利用矩阵变换的几何意义巧妙的解决问题．

解法一：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点

P′（x′0，y′0） 则有 x0′y0′=2001x0y0，即x′0=2x0y′0=y0，所以x0=x′02y0=y′0

又因为点P在椭圆上，故4x20+y20=1，从而（x′0）2+（y′0）2=1，

所以，曲线F的方程是 x2+y2=1．

解法二：因为矩阵2001是y轴上的点保持不变，x轴上的点变为原来的2倍，所以得到曲线F的方程是 x2+y2=1．

点评：变换是指平面几何中关于点的变换，即曲线上的点x0y0在矩阵变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换中得到新的点x′y′，从而得到新、旧两点间的关系式，从而由已知曲线方程来得到新的曲线方程．

三、由变换求矩阵

例3 设a，b∈R，若矩阵A=a0－1b把直线l：y=2x－4变换为直线l′：y=x－12，求矩阵A．

分析：通过二阶矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线．既可以通过一般性的设点求解，也可以在直线上取两个特殊点，建立方程组来求解．

解析：在直线l取两点P（0，-4），Q（2，0），设P、Q在矩阵A的作用下得到P′、Q′，

由a0－1b0－4=0－4b，a0－1b20=2a－2，即把P′（0，－4b），Q′（2a，－2）代入直线l′：y=x－12得－4b=－12－2=2a－12，即a=5，b=3，A=50－13．

点评：一般地，把平面内的每个点变成同一个平面内的和它相应的唯一的一点，平面内的每一点都是由某一个相应的点变成的，这就是平面内的点的一个变换．因为矩阵A中仅有两个未知量，所以只要选择两个点来作对应变换即可．

四、特征值、特征向量的概念与运算

例4 已知A=1221，β=17，计算A5β．

分析：列出二阶矩阵的特征多项式，求出特征值与对应的特征向量；再计算A5β；

解析：矩阵A的特征多项式为f（λ）=λ－1－2－2λ－1=λ2－2λ－3．

令f（λ）=0，得λ1=3，λ2=－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1=11，α2=1－1

令β=mα1+nα2，所以求得m=4，n=－3，

A5β=A5（4α1－3α2）=4A5α1－3A5α2=4λ51α1-3λ52α2

=4×351－1－3×（－1）51－1=975969．

点评：（1）求矩阵A=abcd的特征值：f（λ）=λ－a－b－cλ－d=（λ－a）（λ－d）－cb，令f（λ）=0，解得特征值λ1，λ2；

（2）求特征值对应的特征向量：由λ值去解方程组（a－λ）x+by=0cx+（d－λ）y=0（a－λ）x+by=0，取x=1或者y=1等，写出相应的向量α1，α2；

（3）令β=mα1+nα2，求出m，n的值；

（4）计算多次变换后向量：Anβ=m（λn1α1）+n（λn2α2）．

五、矩阵的简单应用

1．二阶矩阵与二元一次方程组

例5 用矩阵方法、行列式求二元一次方程组3x－2y=43x+y=7 的解．

分析：把方程组改写成矩阵的形式，利用逆矩阵、行列式的基本知识求解．

解析：利用矩阵：已知方程组可以写为：3－231xy=47

令M=3－231， 其M－1=1929－1313， xy=M－147=1929－131347=21

故该方程组的解为x=2y=1；

利用行列式：

D=3－231=9，Dx=4－271=18，Dy=3437=9于是x=DxD=2，y=DyD=1，

故该方程组的解为x=2y=1．

点评：①利用矩阵的方法，即逆矩阵：方程组ax+by=mcx+dy=n 可以表示成abcdxy=mn，简写成AX=B，A－1AX=A－1BX=A－1B；

②利用行列式D=abcd=ad－bc；Dx=mbnd；Dy=amcn，则x=DxD；y=DyD．

2．有关数列方面的实际应用

例6 当兔子和狐狸处于同一栖息地时，若忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，两个种群的变化有如下规律：

①由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；

②由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的015倍，狐狸数每年增加兔子数的0．1倍；

③第n年时，兔子数量用Rn表示，狐狸数量用Fn表示；

④初始时刻（即第0年），兔子数量有R0=100只，狐狸数量有F0=30只．

请用所学知识解决如下问题：

（1）列出兔子与狐狸的生态模型；

（2）求出Rn、Fn关于n的关系式；

（3）讨论：当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．

分析：列出数列{Fn}、{Rn}关联的关系式，构造矩阵模型，通过特征值、特征向量的意义去求解．

解析：（1）Rn=1.1Rn－1－0.15Fn－1Fn=0.1Rn－1+0.85Fn－1；

（2）设an=RnFn，M=1.1－0.150.10.85，

an=Mna0；

又矩阵M的特征多项式

f（λ）=λ－1.10.15－0.1λ－0.85=λ2－1.95λ+0.95．

令f（λ）=0，得λ1=1，λ2=0.95，从而求得对应的一个特征向量分别为α1=32，α2=11

a0=10030=70α1－110α2

an=Mna0=70×1n32－110×0.95n11 =210－110×0.95n140－110×0.95n．

Rn=210－110×0.95n， Fn=140－110×0.95n．

（3）当n越来越大时，0.95n越来越接近于0，Rn、Fn分别趋向于常量210，140．即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量将达到一个稳定的平衡状态．

点评：根据题意得到Rn、Fn的关系式，因为{Fn}、{Rn}相互关联，很难直接求出Rn、Fn关于n的关系式，所以利用矩阵，从矩阵的特征值、特征向量的意义角度去解题，并能从几何变换的角度理解二者的几何意义．

（作者：沈书龙，江苏省江阴长泾中学）