中考数学证明线段相等的基本思路

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证明线段相等是中考数学中的常考题型，这里我们以2011年中考题为例说明证明线段相等的几种基本思路，供同学们参考.

一、 运用全等三角形

设法证明两线段所在的两个三角形全等，其对应边就相等，这是证明线段相等的最基本的思路.

例1 （北京卷）如图1，点A、C、B、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD. 求证：AE=FC.

思路和证明 欲证AE=FC，只需证ABE?艿FDC. 已知∠A=∠F，AB=FD，只需再找一组对应角相等. 已知条件BE∥DF，则∠D=∠ABE（两直线平行，同位角相等）. 故可证明AE=FC.

二、 运用等腰三角形和等腰梯形

设法证明两线段所在的三角形的两底角相等，或两线段所在梯形的两底角相等.

例2 （山东临沂卷）如图2，ABC中，AB=AC，AD、CD分别是ABC的两个外角的平分线. 求证：AC=AD.

思路和证明 欲证AC=AD，只需证明∠ACD=∠D. 又CD是∠ACE的平分线，则只需证∠DCE=∠D，即要证AD∥BE，也就是需证∠DAC=∠ACB（内错角相等两直线平行）.

AD是∠CAF的平分线， ∠CAF=2∠DAC. （1）

又已知AB=AC， ∠B=∠ACB，又∠CAF是ABC的外角， ∠CAF=∠B+∠ACB=2∠ACB. （2）

由（1）、（2）两式得∠DAC=∠ACB. 故可证明AC=AD.

三、 运用平行四边形

设法证明两线段为平行四边形（含矩形、正方形、菱形）的对边或为矩形、正方形的对角线.

例3 （浙江衢州卷）如图3，ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC. 求证：AD=EC.

思路和证明 欲证AD=EC，只需证四边形ADCE是平行四边形，即证AE与CD平行且相等.

因为AD是边BC上的中线，则CD=BD，即只要证AE=BD. 已知DE∥AB、AE∥BC， 则四边形ABDE是平行四边形. 故可证明AD=EC.

四、 运用圆的相关知识

圆外一点所引圆的两条切线相等. 同圆或等圆中两相等弧所对的弦相等，或两弦相等则弦心距相等，等等.

例4 （陕西省卷）如图4，在ABC中，∠B=60°，O是ABC的外接圆，过点A作O的切线，交CO的延长线于点P，CP交O于点D. 求证：AP=AC.

思路和证明 要证AP=AC，只需证∠P=∠ACP. 连接OA， AP是过点A所作O的切线， PAOA，即∠OAP=90°，又已知∠B=60°，而∠AOC为圆心角， ∠AOC=2∠B=120°， ∠AOP=60°，∠P=30°. 显然∠OAC+∠OCA=180°-120°=60°，又OA=OC， ∠ACP=30°， ∠P=∠ACP， AP=AC.

该题运用了圆的相关知识：切线、圆周角、圆心角等.

五、运用勾股定理

例5 （山东烟台卷）已知：如图5，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CDAD，AD2+CD2=2AB2. 求证：AB=BC.

思路和证明 欲证AB=BC，只需证AB2=BC2. 连接AC，又∠ABC=90°， AB2+BC2=AC2. 读图知AD2+CD2=AC2，又已知AD2+CD2=2AB2，则2AB2=AB2+BC2. 故AB2=BC2，AB=BC.