让学生跳一跳,够得着
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【摘要】维果茨基的“最近发展区”理论最突出的例子就是“跳一跳够得着果子”。那么，在我们的实际教学工作中，究竟应该怎样把握好这个度才能达到这种效果呢？本人结合自己的课堂教学，设计让学生“跳一跳，够得着”的教学内容，来诠释在高一数学课堂教学中如何体现这一理论的实际应用。
【关键词】最近发展区 高一数学 课堂教学 跳一跳
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0142-02
前苏联心理学家维果茨基提出：教育对儿童的发展能起到主导作用和促进作用，但需要确定儿童的两种发展水平，一种是已经达到的发展水平，另一种是儿童可能达到的发展水平，这两种水平之间的差距就是“最近发展区”。孩子能够独立表现出来的心理发展水平，一般都低于他在成人指导下所能够表现出来的水平。通俗地说，可以比喻为，前者是站着摘果子，后者则是跳一跳，站着够不着的果子，跳起来就可以够得着。因此，教育教学目标的设定需要立足于实际，符合学生的认知水平。不同学段的学生，不同层次的学生，其理解认识和分析解决问题的能力是不同的。那么对于一线教师普遍认为难教的高一数学该如何开展有效的课堂教学呢？本人认为可依据最近发展区理论，设置让学生“跳一跳，够得着”的教学内容，激发其跃动的热望，点燃其求知的激情。下面就以复合函数求值域问题为例谈谈本人在教学中的一些具体做法。
一、让学生能跳
在这一阶段，我把教学内容以任务的形式布置给学生，让他们去探索完成任务的方法，使他们亲历探究和运用知识的过程，让学生能够“跳”起来。例如在讲解复合函数求值域问题时，先让学生回顾初中有关二次函数求最值的内容，并结合二次函数图像加以形象地讲解。在复习回顾后给出例题，让学生结合初中所学进行求解，为本课打好“开门关”。
例1：求二次函数y=x2-2x+3的值域。
分析：由于定义域为R，学生根据初中所学的知识，很容易就求解出该函数值域为[2，+∞）。之后我将该题稍微做了下变动，增加了限制条件x∈[-1，3]，即：
变1：求二次函数y=x2-2x+3，x∈[-1，3]的值域。
很多学生会根据初中所学直接将两端点代入求出，结果发现代入求出的是两个相同的值，这就引起了学生的反思：在给定的区间内求值域是否将两个端点直接代入求出即可？与原有的知识有了可供碰撞的点。很快，大多数学生想到画函数图像，结合函数图像来解决，发现图像一画，这答案立马就呼之欲出了。由此，学生想到单单将两端点代入直接求值域有很大的局限性，结合图像更直观，可见初中所掌握的那套方法到高中显然已经不够用了，得活学活用。在这当中也无形运用了数形结合思想。在此基础上，我再将限制条件改为x∈[0，3]，让学生再次求解，以巩固所学。
变2：求二次函数y=x2-2x+3，x∈[0，3]的值域。
此时，学生根据之前掌握的内容，不再单纯的将两端点代入求了，而是结合刚才所画的图像，很快就得出了答案。由此再引导学生归纳出与二次函数值域相关的量：开口方向、对称轴和区间，并由此得到二次函数值域的求解方法：配方图像区间内的最值值域。这样不仅激发了学生的求知欲，也培养了学生的动手能力和思维能力。
二、让学生想跳
在这一阶段先由学生结合前阶段的探究活动提问，教师把问题写到黑板上，同时还可以叫其他同学来解答，学生回答不完善的地方，教师予以改正，对问题进行讲解，以解决学生未解决的问题。这样既充分发挥了学生的主动性和创造性，又达到了教学的目的。例如：在刚才的二次函数y=x2-2x+3求值域的基础上，引导学生思考以该二次函数为基本函数，还可以求哪些函数的值域。学生触类旁通，提出求以y=x2-2x+3为基本函数的复合函数的值域：
例2：求函数y=、y=、y=、y=lg（x2-2x+3）和y=2x-2x+3的值域。
既然是学生自己提出的问题，我就尝试先让学生来求解前3题。解答结果显示，学生对于求y=的值域基本能解答，但对于求y=和y=的值域只有基础知识掌握扎实的个别学生会。在此，我让掌握了的学生上台板演他们的解答过程。学生的解答过程如下（求y=的值域）：
解：设a=x2-2x+3，则y=（a≠0）
a=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2
函数y=的值域为（0，]
显然，学生的解答思路是清晰的，过程也是对的，只是对于用换元法来求解值域这一概念还不明确，过程还不十分完善而已。为此，我在该题的基础上加以修正补充如下：
解：原函数的定义域为R
令t=x2-2x+3，则y=■（t≠0）
t=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2
函数y=■的值域为（0，■]
并指出通过这种方法来求函数的值域，称为换元法。注意到学生在求出t的范围后是直接将其倒数范围为原函数的值域，还未真正体会到这是二次函数和反比例函数复合的函数，特别是求反比例函数的值域是不能直接倒数过来求其范围的。为此，我又将原题稍微做了下变动，将这个二次函数改为x2-2x-3后让学生再次求值域。由于只是将二次函数的常数项做了变动，很多学生跃跃欲试，认为很是简单，直接根据刚才的解答过程依样画葫芦即可。但在实际的解答过程中有部分学生发现，求出换元后的函数值域将其直接倒数倒过来行不通了，出现问题了，有可能将范围扩大了，于是学生立马想到得结合反比例函数的图像来解答了。图像一画，发现如果直接将其倒数的范围作为值域得出的是（-∞，-]，而结合图像得出的却是（-∞，-]U（0，+∞），很明显两者答案不一致，结合图像求出的才是正确的，于是有部分学生就下结论说不能直接求倒数的范围，只能结合图像来求。而此时有个别基础好的学生却有不同的声音了，说是可以直接求倒数的范围，只不过刚才在求解的过程中大家都忘了换元时所换的元本就有范围限制了的y=（t≠0），那么t的实际范围应该是t≥-2且t≠0，即-2≤t0，这样一来求其倒数的范围也应该是（-∞，-]U（0，+∞）。看来学生已经不单是得到了“鱼”，也已经会“渔”了。一题多解，举一反三本就是我们教学所期望达到的效果。
通过该题的解答，让学生归纳求复合函数的值域的基本步骤：求原函数的定义域构造形如y=，设t=g（x），则y=（t≠0）求t=g（x）的值域求y=值域原函数的值域。如此一来，既达到了完善学生知识结构的目的，又起到了让学生乐于探究的良好效果。
三、让学生会跳
这一阶段，学生操作将任务完成，使知识内化为学生个人的能力。此时老师可通过巡视把握学生的学习情况，对学生的学习活动进行指导，当然，老师的指导要注意“指”在紧要处，“导”在疑难点，要特别注意指导第一阶段未完成任务的学生，要充分关注学困生，重要环节关键时刻要给予特殊的帮助，不让他们成为被动的旁观者。例如在刚才解答过程补充完整并得出基本的解题步骤后，让学生再来求函数y=的值域，学生会觉得简单许多，即便是该题在原先求函数y=的基础上已有所变动，有了刚才的解答过程与教师讲解的知识，学生再一次来完成任务，可谓是“轻车熟路”了。完成任务后与教师给的解答过程相比较，学生再一次尝到了成功的巨大喜悦，大大地提高了学习的兴趣，并产生了“我也想来试一试”的强烈的欲望。
四、让学生善跳
在这一阶段，学生已基本掌握教学内容，教师可以设计新任务，要求给学生综合应用的机会，给学生创新实践的机会。例如让学生来求例2中剩下的二次函数和指、对数复合的函数的值域：
例2：求函数y=lg（x2-2x+3）和y=2x-2x+3的值域。
（指定两名学生上台解答）
解：（1）原函数的定义域为R
令t=x2-2x+3，则y=lgt（t>0）
t=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2
又y=lgt在其定义域上单调递增
lgt≥lg2即y≥lg2
函数y=lg（x2-2x+3）的值域为[lg2，+∞）
解：（2）原函数的定义域为R
令t=x2-2x+3，则y=2t
t=x2-2x+3=（x-1）2+2≥2
又y=2t在其定义域上单调递增
2t≥22=4即y≥4
函数y=2x-2x+3的值域为[4，+∞）
解答过程完全正确，毫无遗漏，可见学生已掌握了复合函数值域的求解。
然后在此基础上增加了一题指对数复合的函数求值域的提高题：求函数y=lg（2-3x）的值域。经过前面的逐次铺垫，学生对于求解该题也不会觉得那么难了，能够稍加思索加以求解。这一过程是由每个学生独立完成的，学生在解答过程中如果碰到了问题可促使他们多加思考，这样既让学生巩固了书本知识，培养了学生的思考能力，也培养了他们的学习积极性和良好的学习习惯。
通过以上教学后，学生对于复合函数求值域问题基本都已能掌握，收到了预期的教学效果。课后，一位曾在初中阶段对数学学习失去信心的学生跑来开心地对我说：“老师，上完今天这节课后，我以最快的速度完成了今天的作业，我以前从没在这么短的时间内就能完成数学作业的。今天的作业真是太简单了。”其实当日的作业并不是如她所说的那么简单的，也有一定的中偏上的难题的。看着学生那开心的笑容，甚感欣慰。因而，我们在平时的教学过程中，既要设置高水平的问题，又要不断地搭建一些脚手架， 让学生“跳一跳，够得着”， 从而采摘到自己心仪的果子，创设学生新的发展区。
参考文献：
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[3]麻彦坤.最近发展区理论影响下的同伴合作研究.心理探索[J].2005，7.
[4]王文静.维果茨基“最近发展区理论”对我国教学改革的启示.华东师范大学学报[J].2006，2.