拨“斜”为“正”,因动点产生的直角三角形解题策略

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因动点产生的直角三角形问题是中考试卷的考查热点. 解决这类问题时，我们常常需要分三种情况讨论，即究竟哪个角是直角.

一、 构造辅助线，借用相似解决问题

例1 （2013・山西省）如图1，抛物线y=x2-x-4与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m， 0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

（1） 求点A、B、C的坐标；

（2） 当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N. 试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3） 当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

1. 第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ=DC列方程. 要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值作一个准确的示意图，先得到结论.

2. 第（3）题BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形.

【解答过程】（1） 由y=x2-x-4=（x+2）（x-8），得A（-2，0），B（8，0），C（0，-4）.

【技巧说明】讨论直角的时候，通常题目讨论的直角三角形的两条直角边并不与坐标轴平行（如图4），这时我们可构造如图5的基本图形，将∠ACB是不是直角的讨论，转化为讨论ACF与CBE是否相似. 将斜着的线段AC、CB，转化为平行于坐标轴的线段AF、CF、CE、BE.

二、 借用直径所对的圆周角是直角，讨论三角形有没有可能是直角三角形

（1） 当k=-2时，求反比例函数的解析式；

（2） 要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3） 设二次函数的图像的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值.

【思路点拨】

1. 由点A（1，k）或点B（-1，-k）的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是y=. 题目中的k都是一致的.

2. 由点A（1，k）或点B（-1，-k）的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O.

3. 根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在O上时，ABQ是以直径AB为斜边的直角三角形.

【解答过程】（1） 因为反比例函数的图像过点A（1，k），所以反比例函数的解析式是y=. 当k=-2时，所求解析式是y=-.

（2） 在反比例函数y=中，如果y随x增大而增大，那么k

当k

【技巧说明】要判定∠AQB=90°，只需保证OQ=OA=OB即可，因为当OB=OQ、OA=OQ时，∠A=∠OQA，∠OBQ=∠OQB，即可证明∠AQB=90°. 这也是直角三角形常用的判定方法之一.

当然，讨论直角三角形的时候，如果能设出三角形三个顶点坐标，也可以利用两点间距离公式分别求出三角形三边长，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

（作者单位：江苏省海安县仇湖初级中学）