解题训练要学会“三想一反思”

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇解题训练要学会“三想一反思”范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：本文主要是针对学生在解题训练中如何做到三想一反思。从而达到提高解题效率的目的，进而促进学生思维能力的发展。

关键词：回想；联想；猜想；反思

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-088-02

著名的数学家波利亚曾说过，中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练，可见解题训练在中学阶段占有非常重要的地位，那如何在解题训练中做到有针对性，防止盲目性，从而达到提高解题效率。关键就在于学会回想，学会联想，学会猜想，学会反思。

一、学会回想

从本质上说，解题训练的过程，就是引导学生如何应用基础知识和基本方法来分析问题，解决问题的过程。在弄清题意以后，教师如何引导学生，去回想已学过的基础知识，包括定义、定理、公式、法则和基本方法。并从积累的知识框架中把相关部分内容提取出来，将这些知识与具体问题联系起来，问题也就得以解决。可见在解题训练中的回想训练，本质上是一种由一般原理到特殊问题的思维训练，即演绎推理的训练，这种训练的推理是非常重要的。

在提取知识的过程中，知识的积累储备越丰富，提取知识的空间就越大，能够提取出来的内容就越多，解答问题的思路就越宽，具体处理的方式方法就越多样化。知识框架内部越有序，提取过程就越方便，越顺利，提取的效率就越高，效果就越好。学生对提取出来的知识理解得越深，掌握得越好，应用起来就会感到灵活自如，得心应手。由此可见，基础知识和基本方法是解题的最基础。

反过来，回想过程又不可能是一个单纯寻求解题思路的消极过程。实际上，从寻求到解答习题，自始至终都会在无形中反作用于知识结构，反作用于思维能力。归根结底，全在于教师对学生的引导和指导学生的训练。只有教师引导得当，学生训练得法，才能很好的解答，从而使基础知识得到进一步的巩固，加深，系统化，甚至还可以把本来互相孤立的部分也彼此联系起来。总而言之，回想可使知识系统化整体化，同时，还可以使分析问题与解决问题的能力得到充分有效的实际锻炼。逐步形成技能技巧，提高解题能力。另外，解题本身并不是主要目的，而只是一种手段。解题训练的根本在于消化基础知识，掌握基本方法，在于培养能力，开发智力，而并不仅仅限于解答习题本身。因此，训练必须充分，解题必须保证相当的数量，才能确保质量。搞题海战术是不可取的，根本原因在于只重数量，不顾质量，因此，我们要保证训练的实际效果以确保质量。

二、学会联想

从本质上说，对旧知识的提取也就是一种联想。但是，联想却不仅仅局限与单纯地直接提取旧识知。对于稍有难度的问题，且基础知识之间的联系不是直接的，而是间接的，不是单一的，而是相当复杂的，不经历一个由表及里，由浅入深的分析过程，就难以确定提取的内容和应用的方法是否得当。在分析的过程中，其实就是一个联想的过程。

对问题的条件与结论，包括所涉及的图形进行认真观察，由考察到觉察，就是联想的起点，由观察到考察，由考察到觉察，再由觉察到洞察，实际上是一个由特殊到特殊，也就是类比推理的思维的过程。对于中学生，类比是一种最易于，最乐于接受的思维方法。引导学生去联想，教会学生如何去联想，就是提高解题能力的主要措施。

由观察，考察，到有所觉察，通常只局限于问题与某种旧知识之间的部分相同，甚至是部分相似，这仅仅是解决问题的踏脚石，离真正解决问题，还差一大步。“最重要的还是要用已收集到的信息作为收集进一步信息的基础。”

例1：解方程组 .

这个方程指明两个数的和为 ，这两个数的积为 。由此联想到韦达定理， 、 是一元二次方程的两个根，

所以 或 .可见，联想可使问题变得简单。

例2：已知 均为正实数,满足关系式 ,又 为不小于 的自然数，

求证:

思路分析：由条件 联想到勾股定理， 可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。

证明设 所对的角分别为 、 、 则 是直角， 为锐角，于是

且

当 时，有

于是有

即

从而就有

思维阻碍：由于这是一个关于自然数 的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。

所以，除基础知识以外，还应该注意引导学生把联想指向解过的习题，指向自己的解题经验。要不断的问自己；“我知道一个与此有关问题吗？”而雅诺夫斯卡娅就说得更为直截了当：“解题就是把题归结为已经解过的题。”就直接意义来说，这是引导学生利用已知来解决未知，使未知转化为已知。既不断巩固旧经验，又不断积累新经验。就更深远的意义来说，无形中促进了知识的内化，经验的升华。对于提高能力，开发智力有难估量的促进作用。

三、学会猜想

在难度更大的问题面前，谁也难免感到理不出个头绪，抓不住解题的要领。按常规去想，一时很难突破，这就要求我们要打破常规，不现再拘泥于逻辑思维的固定程序，不防做出大胆猜想，然后再设法加以验证。

当然，大胆猜想并不等于胡思乱想。应该是在审清题意以后，认真观察分析。在有所觉察的基础上，做出人合乎情理的推测，做出尽可能似真或逼真的猜想。从觉察到猜想是一次跳跃。是从并不充分的根据，做出了可能性的判断。从本质上说，是一种不完全的归纳推理。所得到的结论只是一种可能性，而不是真实性。它可能对，也可能错。所以我们必须清楚地看到，对学生而言，即使猜错了，实际的训练效果也并不是没有意义的，在许多情况下，猜测被认为是错误的。但由它们再诱导出一个更好的猜测方面仍然是有用的，何况还对能力的培养，思维的训练是有促进作用的。

例3：试求1+2+3+……+100=？

分析：如果一个一个顺次相加，显然太繁。我们仔细分析这100个连续自然数和规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化提高计算速度的。

1+100=2+99=3+98=…=50+51=101

将所给算式中各个加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果。

解：1+2+3+…+100

=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）（加法交换、结合律）

=101×50（乘法意义）

=5050

利用运算律计算：

1、1+3+5+7+…+99=？

2、a+(a+d)+(a+2d)+ …+(a+99d)=?(基中a，d均匀为自然数)

因此，在作题时不必拘泥于习题，也不必局限于难题。而应从一般难度的问题开始，把基础知识当作问题，让学生去“发现”规律，“发明”知识，去探索推导与证明方法，既有利于对知识的理解与掌握，更有利于思维能力的培养。再如三角形内角和定理，有一个角是30度的直角三角形性质等等，让学生借助剪纸，测量，猜出命题的内容以后，再引导他们去证明，去应用，肯定比硬性灌输要强。

皮亚诺说：“一切真理都要由学生自己获得或由他们重新发明，至少由他们重建，而不是简单地传递给他们。”总之，基础知识也好，数学习题也罢，绝不能讲成现成的结论，而应该体现成一个数学活动的过程，体现成模拟科研活动。用教师的活动去引导学生的思维活动是完全必要的，用教师的活动去代替学生的思维活动则是绝对错误的。

四、学会反思

从最近几年的高考，特别是近两年的高考试题来看,能力的要求逐年提高，“题海战术”的功效明显下降。在数学教学中，如何引导学生摆脱“题海战术”，提高数学素质，培养数学能力，这就要使学生学会“反思”。何谓“反思”？即做完一道题目后，要再问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训。搞清楚“为什么”，才能在以后的解题中知道“做什么”和“如何去做”。

解题中我们常反思什么呢？一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核我们哪些方面的概念、知识和能力；验证解题结论是否合理,命题所提供的条件的应用是否完备；求解论证过程是否判断有据,严密完善；本题有无其他解法——如一题多解；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论—举一反三，多题一解等。

例4已知关于x 的方程x2 - (2i - 1) x + 2m - i= 0 有实根，求实数m 的值。

此题学生一般易误解为：由于方程有实根，

故有：= [ - (2i - 1) ]2 - 4 (2m - i) ≥0

解得m 的取值范围为，

对此,应引导学生反思以下问题：

1、≥0能否保证方程有实根？为什么？

2、方程有实根,是否必须≥0？为什么？

3、是否一定有正负之分，为什么？

4、实系数一元二次方程的有关结论（如判别式、根与系数的关系）在复系数一元二次方程中，哪些已不适用？为什么？

5、解此题的思路方法是什么?

反思的目的在于深化对知识的理解,促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础,长期进行反思,不断可以提高解题能力，还可以培养学生对数学学习的兴趣。

总之，通过训练，使学生在解题后进行三想一反思，这样不仅可以提高学生的数学素质，培养学生的数学意识，更可以促进学生思维能力的发展，为学生获得终身受用的基础能力奠定了基础。