解题总动员

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学习平方根与算术平方根，要切实理解它们的意义，准确地把握定义的隐含条件，要正确地区分平方根与算术平方根，会用平方与开平方之间的关系求一个非负数的平方根及算术平方根，会应用平方根与算术平方根的性质解题.

1． 应用平方根、算术平方根的定义解题.

例1已知一个自然数的算术平方根是a，则与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是多少？

解析：因为这个自然数的算术平方根是a，所以这个自然数是a2，与它相邻的下一个自然数为a2+1，

根据平方根的定义，其平方根是± .

例2求 + + 的值.

解析：由 成立的条件是a≥0可知，

必有x-4≥0与4-x≥0同时成立，

即必有x=4，

所以 + +

= + +

=5.

例3如果a为正整数， 为整数，求 的最大值及此时a的值.

解析：由 成立的条件为a≥0可知，必有18-a ≥0且18-a是一个平方数，而18-a ≤ 18，因此18-a的可能值为0、1、4、9、16，当18-a的值最大时， 的值最大，故18-a=16，a=2，此时 的最大值是4.

2． 应用平方根、算术平方根的性质解题.

例4若 =k-3，求k的值.

解析：根据算术平方根的性质，算术平方根等于本身的数是0、1，即k-3=0或k-3=1，

解得k=3或k=4.

例5若一个正数的平方根是2a-1与-a+2，求a的值及这个正数.

解析：因为一个正数的两个平方根互为相反数，

所以（2a-1）+（- a+2）=0，

即a=-1.

所以这个正数是（2a-1）2=32=9.

例6已知 + =0，求a2 005+b2 006的值.

解析： 由算术平方根的非负性，得 ≥0， ≥0，

而 + =0，

所以有 =0， =0，

即a+1=0且b-1=0，

即a=-1，b=1，

所以a2 005+b2 006=0.

3. 综合应用.

例7如图1，将边长为1 cm的5个正方形按如图所示的位置摆放，然后沿所示的虚线剪两刀，拼成一个由虚线构成的正方形.

试问：（1）这个正方形的面积是多少？

（2）这个正方形的边长是多少？介于哪两个正整数之间？

解析：（1）根据拼图原则，其面积不变，故这个正方形的面积为5 cm2.

（2）设正方形的边长为x，则x2=5.

根据实际意义，得x= .

又因为 < < ，

即2

所以 介于2与3之间.L

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