高考新亮点――函数零点

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函数的零点,体现了函数的方程思想,由于它与高等数学相衔接,利用函数零点解决函数问题、方程问题已成为高考命题的一个新亮点?郾 下面以2010年的高考试题为例,对函数零点问题进行归类剖析?郾

一、考查函数零点概念

例1 (浙江文科卷)已知x0是函数f(x)=2x+■的一个零点?郾 若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则()

A?郾 f(x1)

C?郾 f(x1)>0,f(x2)0,f(x2)>0

分析 由函数零点的概念,知f(x0)=0,再结合函数f(x)的单调性即可判断?郾

解 显然g(x)=2x及h(x)=■在(1,+∞)上都是增函数,则由复合函数的单调性易判断,当x>1时,f(x)=2x+■为增函数?郾 由函数零点的的定义,知f(x0)=0,所以f(x1)0?郾 故选B?郾

评注 函数零点的定义:对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点?郾 函数的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)(x∈D)与x轴的交点的横坐标?郾 所以方程f(x)=0有实数根?圳函数y=f(x)(x∈D)的图象与x轴有交点?圳函数y=f(x)(x∈D)有零点?郾

二、判断函数零点所在区间

例2 (天津卷)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()

A?郾 (-2,-1)?摇?摇 B?郾 (-1,0)?摇?摇 C?郾 (0,1)?摇?摇 D?郾 (1,2)

分析 用定义可以判断函数f(x)在定义域上是增函数,从所填的区间(a,b),只需看其是否满足f(a)・f(b)

解 因为f(-1)=2-1-30,所以选B?郾

评注 用零点存在原理来解题时,若f(a)・f(b)

例3 (上海卷)若x0是方程(■)x=x ■的解,则x0属于区间()

A?郾 (■,1)?摇?摇 B?郾 (■,■)?摇?摇 C?郾 (■,■)?摇?摇 D?郾 (0,■)

分析 本题可构造函数,转化为零点问题来解决?郾

解 (■)x=x■?圳(■)3x=x,设f(x)=(■)3x-x,则f(■)=■-■=■>0,f(■)=(■)■-■=■-■=■

评注 把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是本题解题的关键?郾

三、判断函数零点的个数

例4 (福建卷)函数f(x)=x2+2x-3,x≤0,-2+lnx, x>0 的零点个数为()

A?郾 0?摇?摇 B?郾 1?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 3

分析 令f(x)=0,利用方程的思想求得x的个数就是零点的个数?郾

解 当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;

当x>0时,令-2+lnx=0,解得x=e2?郾

所以,已知函数有两个零点?郾 故选C?郾

评注 本题运用了分类讨论的思想?郾 判断函数f(x)零点的个数,常用方法有解方程及数形结合法等?郾

四、利用函数零点知识解题

例5 (山东卷)函数y=2x-x2的图象大致是()

分析 可利用函数零点知识来解决?郾

解 对于函数y=2x-x2,有f(2)=f(4)=0,即零点有2和4,则排除B、C;当x=-2时,2x-x2=■-4

评注 对于“由式定图”问题,往往可用零点知识来解决,即由必过的零点及必过的象限来解决?郾