对三角尺的思考

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一直伴随数学教学的三角尺，不知教师们是否认真思考过。它内涵丰富，能生成许许多多数学问题，不但是当前的中考热点，也是促进学生主动探索，积极思考的载体.课上可作为学生合作学习的素材，课后又是学生独立思考，深入研究的课题.

三角尺相关问题能使学生顺其自然地投入到研究性学习中，让他们感知艰辛的经历后获得成功的体验.既能培养动手操作能力，又能提升抽象思维和逻辑思维能力，渗透数形结合思想以及综合运用知识解决问题的能力，还能潜移默化地激发学生用数学观点来观察、探索、实验、推理、归纳生活中的事物，养成学数学、用数学、爱数学的良好学习品质.

一、利用三角尺画特殊角（0°~180°）

除了直接用三角尺画出0°、30°、60°、90°、45°、180°的特殊角外，还可以用两三角尺各个内角的和或差画出120°、75°、150°、105°、135°、15°等特殊角.

二、利用三角尺作垂线和平行线

三、利用三角尺作特殊几何图形

等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形.

四、三角尺的拼图功能

1.同尺拼接，考查特殊多边形的概念、判定和性质.

2.异尺拼接，生成动点问题.

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．

（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；

（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；

（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时 DPBQ的面积．

2. 你发现∠BCD与∠ACE的大小关系了吗？证明你的发现.

3. 三角尺ABC不动，将三角尺DEC的CE边与CB边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度（使0°＜∠BCE＜90°），当∠BCE等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠BCE角度所有可能的值，不用说明理由．（答案提示：顺时针，30°、45°、75°；逆时针，45°、60°.）

六、三角尺旋转成体

将短直角边长度为a，一个锐角是30°的三角尺，分别以其三条边所在直线为轴，顺时针（或逆时针）旋转360°后，形成了下图对应的几何体.试比较它们的表面积和体积的大小变化.

将锐角为30°的三角尺ABC如上图放置，先以点C为中心，沿直线l按顺时针方向做第1次转动，再以转动后点A的对应点A1为中心，按相同方向做第2次转动，再以相同的方式做第3次转动，实现第3步三角尺的位置.

（1）请在方框内画出三角尺做第2次转动后的位置图形；

（2）若三角尺的短直角边BC长为6cm，请计算出三角尺做3次转动过程中，点B的行程.

八、三角尺的平移

1. 两三角尺的直角边在同一直线上的平移.

三角尺ABC（一锐角是30°）和三角尺DEF（锐角是45°）的起始位置如图1所示，令三角尺DEF固定不动，三角尺ABC以每秒钟1个单位的速度向右平移，AC（或DE）的长度为n，请求出平移过程中两三角尺重叠面积S与平移时间t之间的函数关系式，并标明自变量取值范围.

（5）当t≥■n时，S=0.

2.两三角尺斜边在同一直线上的平移.

三角尺ABC（一锐角是30°）和三角尺DEF（锐角是45°）的起始位置如图6所示，令三角尺ABC固定不动，三角尺DEF以每秒钟1个单位的速度向右平移，AC（或DE）的长度为n，请计算平移过程中两三角尺重叠面积S与平移时间t之间的函数关系式，并标明自变量取值范围.