由两道错题想到的……
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涉及分数内容的学习一直以来是学生学习的难点，也是教师教学的一大困惑。当单独地进行分数概念的学习时，学生总觉得非常简单易学，而一旦进入分数乘除法的学习后，老师们会突然发现，各种各样的问题像雨后春笋一样陆续暴露出来了。笔者根据自己的教学实践，对分数意义的教学谈谈自己的一些思考和改进方法。
商除不尽为什么不用分数表示？
在学完人教版五下年级“分数的意义和性质”这一章节后的一次练习中，出现这样这一道题：张师傅加工3个零件用了11分钟，他加工一个零件需要多少分钟？
Z同学高举着手，问：“老师，这道题除不尽的。”言下之意是题目出错了。我笑了笑，回答：“除不尽的话，你不能想其它的办法吗？”这时候很多同学也都抬起了头听我们俩的对话。我想，我的话已经比较明确地把意思传递给学生。
然而，作业批改的结果却大大出乎我的意料，除有3人数量关系搞错，写成3/11外，填写“11/3”仅有11人，写“3 ”的有5人，写成循环小数3.6或保留求近似数的有15人之多。经提醒后，他们便知其错，能马上自我改正。
事后，我把那位提问的Z同学叫来谈话，以下是我和他的一段对话：
师：11÷3的结果，你是用什么表示的？
生：开始想用小数，可是除不尽。不过问了你之后，我想保留整数就可以了。
师：那你没想过直接就用分数表示商吗？
生（笑）：一开始没想到，我还以为能除尽的。不过我现在知道了。
师：现在你知道除不尽就用分数表示，那么除尽呢？
生：用小数啊！
师：用分数表示不是更方便？！
生：好像习惯写小数了，写11/3好像没有做完似的。
不小心把答案交换位置写了？
在单元复习时，试卷中有这样一道题：4米长的绳子平均剪成5段，每段长（ ）米，每段绳子是全长的（）。在事后的试卷批改中发现，很多同学将4/5和1/5两个答案互相交换了位置，变成“4米长的绳子平均剪成5段，每段长（1/5 ）米，每段绳子是全长的（4/5）”。以下是我与其中一位出现错误同学（数学成绩比较好）的对话：
师：做这道题的时候，你是怎么想的？
生：有单位就是具体量，没有单位的就是分率。分率的话就是几分之一，具体量的话就是几分之几。
师：你已经能总结出自己的方法了，怎么还会写错？
生：写反了，两个分数经常要弄混掉的。
师：现在请你改正会改吗？
生：会。
试卷下发后，在没讲评之前写错的学生大部分都订正正确了。
二、剖析：是思维惯性还是粗心大意？
“表示商时对小数的特别偏好”和“两个分数不小心交换了位置”这两个问题，看似细小却折射出学生的认知心理，反映出了学生认知上的某些缺失和障碍。经老师提醒，学生又能很快订正好，但是过不了过久，类似的问题还是会故伎重演。在计算其结果的第一时间他们想到的是用小数表示而非分数，这是仅仅是思维惯性的作用吗？把两个分数写错了位置，仅仅是所谓的“粗心大意”吗？笔者认为主要的原因不外乎其二：
1.对分数的两种意义理解不够透彻，没有形成完整的认识。错误的回答通常不是粗心所致，也不是教师没有教过这方面的知识，或者缺乏对问题的思考。错误的回答常常有着理论的支撑。如果要想让学生修正并优化，那么理解学生的理解就非常重要。正如在访谈中学生所反映的那样：有时候1/5就是实打实的1/5，比如1/5米、1/5千克；有时候1/5就不是实打实的1/5，比如10米的1/5，就是2米了，只要单位“1”不一样，它的1/5就不一样，所以很容易弄混，不好理解。由于学生对分数的意义理解不透彻，即对“分数既表示一个具体数量，也表示一种关系”的认识不足，这才是造成学生“用分数表示商”的意识缺乏、混淆分数作为一个数量和作为一种关系的根源所在。因此，分数兼具数的性质和比的性质是学生学习的一个难点，很多错误多与对分数意义的理解不透彻有关，不理解分数是一个具体数量还是一种关系，就难以分清数量之间的关系，也就难以很好地掌握分数的其他相关知识。
2.对假分数也是一个实实在在的数存在认识障碍。通过部分同学访谈发现，很多学生不是不理解分数与除法的关系，不是不清楚结果可以用分数来表示商，也不是搞不清楚数量关系。学生内心对于分数是一个实实在在的数存在认识障碍，还或多或少地关注了分数本身所具有的部分和整体关系的内涵，特别商是假分数时，由于学生在生活中缺少对假分数足够的感知与体验，使得这样的认识障碍更为严重。在任何一堂分数意义的起始教学中，教师选用的素材都不会放进假分数，用的都是真分数，这也在一定程度上强化了学生对假分数作为一个数存在的认知障碍。
三、追溯：教材把握与教学自省
老师和学生对分数有一种共识：分数既表示一种关系（比），又表示一个实际的结果（具体数量）。但由于分数自身的结构组成（分子、分母）不同于自然数和小数，以往数的认识中一直采用的位值制也行不通了，这些对学生而言理解起来都有不小的难度。
“分数”概念的教学教材分两次完成，一次是三上的“分数的初步认识”，后一次就是五下“分数的意义和性质”。在三年级分数教学中，要求学生能正确地用分数表示各部分占整体的几分之几。在五下年级的分数意义教学中，则要求学生认识单位“1”的概念，单位“1”可以是一个图形、一个计量单位，还可以是一个具体数量。知道分数既表示部分与整体的关系，还表示一个具体的量，进一步扩展了对分数意义的理解。实际上，五下的“意义”和三上的“意义”有着本质的区别，五下时把单位“1”从一个物体扩展到多个物体，数量从“1个”变成“多个”，丰富了对单位“1”的认识，而且更加注重单位“1”的各种类型展现，特别是把一个具体数量看成单位“1”的拓展就尤为重要了。比如，课后练习中出现了这样的题目。
三上目标是放在把1包饼干看成单位“1”，平均分成3份，每人分到1/3。五下中更多的关注点可以放在“1/3包是（）块”上，也就是放在12的1/3是多少的上面。象这样的习题实际上就是“分率”和“具体数量”相关概念建立的雏形！正是由于单位“1”内涵的丰富，使得学生对分数从原先比较单纯的比值性意义上升到比较复杂的比值性和数量性意义交融的理解状态。
笔者在五下教学该单元第一课时时，没有很好地把握分数意义的教学要点，往往就课而论、就课而学，以解决本课指向性的、单一的技巧为重点，忽视了知识结构的整体性。随着知识难度的增加，知识结构的逐渐整合，原本隐藏的问题逐渐显现出来。而今，问题的出现让自己不得不冷静下来重新思考本节课的关注点。
四、思考与改进：《分数的意义》教学改进
（一）解读意义，深层把握
对于分数意义理解的基本线索和纬度，北京海淀区孙京红和李宁等老师用图的形式给我们带来了进一步的认识：
简单的说，“比率”是指部分与整体的关系以及部分与部分的关系。“度量”是指可以将分数理解为分数单位的累积。“运作”主要指将对分数的认识转化为一个运算的过程。例如“2/3小时”就可以理解为把1小时平均分成3份，表示其中的2份，列出算式就是1÷3×2,也就是1×2/3。“商”主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它是学生对于分数的认识有“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。也许上述关于分数意义的理解四个维度的划分有不同的认识，但从中可以明确感受到，以上四个维度相辅相成，共同承担着学生对于分数的丰富内涵的认识建构。其中，“商”和“度量”这两个维度的认识最终可以凝聚为对分数是一个数的认识，而“比率”和“运作”两个维度的认识最终可以凝聚为对分数是一种关系的认识，如果学生真的接纳了分数是一个实实在在的数，也是两个数量之间的关系，就可以改变目前这一尴尬的境地，并对后续分数的乘法和除法计算教学都有促进作用。
（二）对比分析，深度思考
笔者通过把自己所听到的众多《分数的初步认识》和《分数的意义》的教学进行分析，大多数的教学一般都采取了这样流程：
通过对比前后两个阶段的分数教学，我们可以看到：《分数的初步认识》以直观操作为主要教学方法，着重是认识了比较简单的“几分之一”的分数，强调的是对分数表示部分与整体的关系的初步感知与体验。《分数的意义》在原有几分之一的认识基础上，很自然的将单位“1”从原先相对简单的“一个物体”上升到了“多个物体”，丰富了学生对单位“1”的认识，充分感知了分数所具有的部分与整体的关系。但学生对分数意义的再次理解还是停留在原先三年级所认识的部分与整体的关系上，对分数还是一个具体的数的理解是不够的，为后续分数的学习埋下了随时都会引发爆炸的隐形炸弹。
（三）打破格局，深入改进
三上年级教材主要通过对1/2和1/4这两个分数，初步认识了分数，了解了其意义。五下年级教材则是通过分数的产生、分数的意义、分数与除法的关系三个层次的教学，使学生比较完整地建立起分数的概念。笔者认为教材的编排固然有其依据，但是把同一个内容分置在两个跨度相对较大的时间段学习，就学生的学习记忆、学习难度等方面而言显然是不合适的。五下年级时，老师们采取的教学进程往往是“先教学分数的意义，再教学分数与除法的关系”，这样的处理把这两个分数意义的不同理解分割为两堂课，也很容易让学生对分数的意义产生片面理解，以致于混淆分数是作为一个数量或作为一种关系存在的。
为了让学生能比较清晰地理解掌握分数的意义，笔者觉得可以对三年级和五年级有关分数的内容进行整合处理，这样有助于学生比较好地理解分数的意义。
1.三上年级：强化认知基础，扩展分数意义的理解。由于三年级学生对分数的理解是建立在除法意义的基础之上的，因此，“在除法意义的基础上初步认识分数与除法的关系，理解分数意义”成为《分数的初步认识》教学的落脚点，笔者所做的尝试如下：
一、出示一组题：
1.把12颗糖平均分成2份，每份是几颗？12÷2=6（颗）
2.把8颗糖平均分成2份，每份是几颗？8÷2=4（颗）
3.把4颗糖平均分成2份，每份是几颗？4÷2=2（颗）
学生列式计算，板书：被除数÷除数=商
二、认识1/2
1.出示：把1颗糖平均分成2份，每份是几颗？
师：根据除法的意义，想一想，怎么列式？1÷2表示什么意思？
（把1颗糖平均分成2份，每份是几颗。）
师：想一想，1÷2=？（颗）
生：1÷2等于半颗糖，也就是0.5或1/2 颗。
板书：1÷2=1/2 颗（同时说明分数的写法和读法）
师小结，板书：1/2 是一个分数，它是1÷2的商。
2.操作：用一张纸片（圆、正方形、长方形）折一折，表示出1/2。
反馈学生操作成果：说说你折出的1/2表示什么意思？
师小结，板书：把一张纸平均分成2份，一份就是1/2 。
3.摸一摸这张纸的1/2 。想一想，这张纸有几个1/2 ？
三、认识1/4
1.出示：把1颗糖平均分成4份，每份是几颗？
师：想想怎么列式？（1÷4）猜猜商是多少？（板书：1÷4=1/4 颗）
2.在同一张纸上动手折一折，并在每一份上写上分数。
3.摸一摸每一份的大小。
4.举例说说1/4 表示什么意思？
师小结，板书：1/4 是一个分数，它是1÷4的商。把一张纸平均分成4份，一份就是1/4 。
四、认识1/8
1.出示：1÷8=？（颗）
师：表示什么意思？商是几？板书：1÷8=1/8 （颗）
2.学生动手折纸。
3.举例说说1/8 的含义。师：这张纸上写满1/8 的话有几个？
【学生通过列式、折纸、举例等操作活动，在不断感知体会分数与除法的关系中认识1/2、1/4、1/8这三个分数，初步理解分数既表示部分与整体的关系，也表示是一个数。】
五、比一比，说一说1/2、1/4、1/8的大小
六、认识分数各部分的名称
1.教师说明，板书：
被除数÷除数= 商
师：1/2中，上面的1是分子相当于被除数；中间的分数线相当于除号；下面的2是分母相当于除数；1/2是1÷2的商。
2.在1/4、1/8、2/2、4/2、8/2中任选两个分数，照样子说说各部分的名称。
【初步认识分数和除法之间的关系，帮助学生理清分数两种意义。虽然学生并不理解假分数，但在新知的起始就初步感知假分数，可以帮助学生对其作为一个数的存在加深印象。】
2.五下年级：改变编排结构，构建完善的分数认知系统。在三上年级的分数初步认识中采用了上述的教学后，笔者把五下年级《分数的意义》的教学重心落在：单位“1”的认识、分数单位的认识、分数与除法关系的概括归纳，所以五下年级分数意义的学习主要是对三年级分数认识系统的完善。因此，教学时笔者把原本分两课时教学的《分数的意义》和《分数和除法的关系》的新授整合在一堂课中进行教学，尝试如下：
一、分数与除法关系的认识
1.出示，学生列式计算：（1）12个苹果平均分给3个同学，每人分几个？12÷3=4（个）；（2）1.5个苹果平均分给3个同学，每人分几个？1.5÷3=0.5（个）
2.依次出示，逐步归纳
（3）1个苹果平均分给3个同学，每人分几个？1÷3=0.3……（个）
师：除不尽，怎么办？除了用小数来表示外，还可以怎么表示？
板书：1÷3= 1/3 （个）
（4）2个苹果平均分给3个同学，每人分几个？
板书：2÷3= 2/3 （个）
（5）4个苹果平均分给3个同学，每人分几个？
板书：4÷3= 4/3（个）
师：仔细观察这几个算式，你发现了什么？（总结：分数和除法的关系）
看来商不仅可以用小数来表示，也可以用分数来表示。你喜欢用哪个来表示呢？
（6）a个苹果平均分给3个同学，每人分几个？
师：能用小数表示吗？（不能）能用分数表示吗？（能）
板书：a÷3=（个）……
（7）a个苹果平均分给b个同学，每人分几个？
板书：a÷b=（个）……
师：a/b是a÷b的商，它既是一个具体的量，同时也表示一种关系：a÷b。
【这样的教学，不仅仅让学生更比较清楚地认识到分数和除法之间的关系，通过数形结合，也能让学生对整个知识的建构过程有一个清晰的认识。让学生能充分认识到分数表示商能弥补小数表示商的不足。这样自然能够接受分数可以代表“具体数量”，也为后面“求一个数的几分之几”也奠定了认知基础。】
二、单位“1”的认识
1.师：看到a/b，你会想到哪些分数？
生：1/4、1/8、4/5、2/2、4/2……（略）
师：你能举例说说1/4 的含义吗？也可以用图画一画表示1/4？
生：……（有的把一个图形平均分，有的把本班同学平均分）
2.课件动态演示：出示一个正方形平均分成4个小正方形，再将4个小正方形变成4个小正方体。
说说图上红色小正方形占。
师：说说每个1/4表示的意义。每一份是多少？有几个1/4？
3.课件动态演示：出示一个正方形平均分成4份，每份中放入2个圆球。说说图上红色部分占。
师：说说1/4表示的意义。每一份是多少？一份里有几个圆球？红色圆球占。
师：同学们，刚才这四个1/4表示的意思一样吗？
生：第一张图上是把一个大正方形平均分成4份；第二张图上是把四个小正方形平均分成4份；第三张图上是把四个小正方体平均分成4份；第四张图把8个小圆球平均分成4份；
4.在分数与除法、具体量与分率的沟通中认识单位“1”。
教师根据学生回答，板书除法算式，出示：
图1图2 图3图4
5.师小结：以前我们把一个物体看作一个整体平均分（图1），现在我们可以把一些物体（图2、3、4）看作一个整体平均分。把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。这个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。表示其中的一份的数叫分数单位。
6.课件动态演示：隐去中间分割线。
师：如果把8个圆球看成单位“1”，
每份是。板书：1÷8=1/8，红色
部分占，蓝色部分占 。
【虽然单位“1”不同，但都是用分
数1/4表示，通过图的变换让学生对单位“1”是一个物体的认识逐步拓展到单位“1”是多个物体的认识，进一步理解单位“1”和分数单位。在具体量除法与分率除法的对比中沟通分率和具体数量的认识。】
五、后思：在“教学理想”与“现实教材”之间寻求平衡点
这样的教学已经打破了教材原来对分数概念学习的编排格局，是一次比较大胆的尝试。三年级和五年级两次分数教学虽思路相同但各有侧重，从教学情况和效果来看，虽然仍有很多不成熟的地方，但能帮助学生比较完整地掌握分数两种意义，从本质的理解上沟通了知识间的联系，理清了数量之间的关系，对小数乘除法、分数乘除法等计算教学和相关解决问题都有促进作用。因此，笔者认为在教材的编排上，目前分段式的教学并没有收到很好的效果，分数概念的教学可以在小学高段年级学生有了比较充分认知经验之后在一个时间段内完整地进行教学。在教材尚未变动的前提下，既要追求教学理想，也要考虑现实教材，于是我们只能在两者之间寻找一个“平衡点”，即使戴着“镣铐”也别忘记自己是个舞者。