古典概型的解题规律探讨

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摘 要：古典概型在概率论中占有很重要的地位，是概率论发展初期的主要研究对象。古典概型问题千变万化，解决古典概型问题的思想方法独特、技巧性强，因此不易掌握其解题规律。本文从解决古典概型问题常用的工具：古典概型问题的性质、建立数学模型的方法两方面，对古典概型问题进行了系统的分析、归纳、分类，并在此基础之上通过典型例题的分析和计算对每一类问题的解题规律进行了探讨，从而归纳总结出了多种解决古典概型问题的思想方法和解题技巧。

关键词：古典概型 对称性 化归思想 数学模型

1.引言

古典概型是概率论的基础知识，它既是进一步学习概率的基础，又是学习过程中的难点，尽管概念直观，计算公式简单，但它所涉及的具体问题往往是复杂多变的，这就使得我们在解题的时候很难找到一种确切的套路和方法。本文从解决古典概型常用的古典概型问题性质、建立数学模型这两个方面分别对古典概型问题进行了分类和归纳，并在此基础之上通过典型例题的分析和计算对每一类问题的解题规律进行了探讨，系统地总结归纳出了多种解决古典概型问题问题的思想方法和解题技巧。

2.利用问题的性质解古典概型问题

2.1化归方法

化归方法是数学中常用的方法之一，也是数学方法论中最基本和最典型的方法之一。在古典概型中，全概率公式体现了化归的思想。这就是把一个比较复杂的随机事件分解成若干个互不相容简单事件之和。于是把问题转化为计算这些简单事件的概率，利用概率的可加性，得到最终结果。

例1：甲乙两人比赛射击，每回射击胜者得1分。在每回射击中甲胜的概率为α，乙胜的概率为β。（α+β=1）比赛进行到有一人比对方多2分为止。（多2分者为胜）求甲获胜的概率。

由于比赛得分情况复杂，必须有分解成若干个简单事件。分解原则是简单事件的概率及条件概率容易计算，并且简单事件构成一个完备事件组。

利用全概率公式解题，就是一种“化整为零”、化复杂为简单的方法，而且使分析问题的思路变得清晰。

2.2用对称性

一般说来，古典概型具有对称性。对称性的运用在古典概型问题中是很广泛的。对于一些问题，如果巧妙地运用对称性，则使问题迎刃而解。

例2：设甲掷均匀硬币（n+1）次，乙掷n次，求甲掷出正面的次数多于乙掷出正面的次数的概率。

本题若是直接计算极为复杂，我们还是应用对称性。

解：A=“甲掷出正面的次数多于乙掷出正面的次数”

3.通过建立模型研究解题方法

3.1袋中取球问题

设袋中有N个球，称为总体，现从总体中一个一个随机地摸球，共有四种不同的摸球方式：

（1）随机地同时从袋中取若干球问题

随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类基本问题，其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及球的先后顺序，计算基本事件数时只需考虑组合数即可。古典概型中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。

（2）随机地从袋中不返回取球若干次

随机地从袋中不返回取球若干次就是指随机地从袋中每次取一个球，取后不再返回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序的，所考虑的事件也会涉及取球的顺序，所以要用排列数计算基本事件数。

（3）随机地从袋中有放回地取球若干次

随机地从袋中有放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球，然后依然放回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程事实上也是按顺序取的，而且每个球都有被重复取出的可能，所考虑的事件依然会涉及取球的顺

这个问题是超几何概率问题的解。

摸球模型中的“球”，可以是有颜色和无颜色或多种颜色，可以是有编号或无编号的球，也可以是数、有共同特征的物品等。

3.2放球入箱问题

放球入箱问题事实上就是古典概型中的一个数学模型，其背景就是随意地把一些球放入箱子里，要求不同放法就不同。基本事件数的计算会用到排列数，也会用到组合。综上所述，袋中取球、排序、放球入箱等问题是古典概型的主要数学模型，掌握了它们的分析方法就可以解决具体的古典概型问题。

所谓分球入箱问题，也就是如何将n个球分配到N个箱子中去。这里，球有可辨和不可辨之分，箱子有最多可以容纳一个球和可以容纳任意个球之分。因此，有四种不同的分配方式：（1）每个箱子可容纳任意个球，且球可辨；（2）每个箱子可容纳任意个球，且球不可辨；（3）每个箱子最多只能容纳一个球，且球可辨；（4）每个箱子最多只能容纳一个球，且球不可辨。

例4：把n个球随机地分到N（n≤N）个箱中，就上述四种不同的分配方式计算下列两事件的概率：

（1）A=“某指定的n个箱中各有一球”；

（2）B=“恰有n个箱中各有一球”。

一般的，古典概型问题基本上可归入上述两种类型。因此，熟练掌握这两种模型问题与这两种模型间的识别训练，对号入座进行分析、计算，问题就能顺利解决。

4.总结

文中所探讨的古典概型的解题思想和方法只是复杂多变的古典概型问题思想方法的一部分。古典概型虽然概念直观，计算工具简单，但因其涉及的具体问题的样化，使得它不仅具有独特的思想方法，同时也具有很高的数学思维性，所以很有必要对其进行深入的研究。

参考文献：

［1］曾宏伟.古典概型概率的计算方法与应用.信阳农业高等专科学校学报，2005年4期.

［2］Aprogrommeis Guide to poralle processing on the ELXSI?6406 System ELXSI company.

［3］毛凤梅.古典概型中摸球模型问题的解法探讨.平顶山师专学报，2004年5期.

［4］朱双荣.例谈计算古典概型概率时样本空间的选取.武汉船舶职业技术学院学报，2004年1期.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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