引导学生从指尖上获得数学智慧
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苏霍姆林斯基说：“儿童的智慧在他们手指尖上。”在《给教师的一百条建议》及其他论著中，苏霍姆林斯基反复强调学校教学要重视让学生动手操作。无独有偶，美国华盛顿国立图书馆的墙壁上写着一段话：“我听见了。但可能忘掉；我看见了，就可能记住；我做过了，便真正理解了。”这是杜威倡导的“做中学”（hands-on）最形象的诠释。可见动手实践对学生的学习多么重要。
新的数学概念、法则，学生缺乏感性经验或难理解的数学知识，抽象的公式和某些易混淆的数学知识等的学习，要借助动手操作来学习：即通过操作学具让学生“摆一摆”“折一折”“量一量”“画一画”“分一分”“拼一拼”“掂一掂”等，在亲自动手中理解数学知识，从而促进思维的发展，感受数学的意义。在小学数学学习中，操作学习广泛应用于建立概念、建构算法、推导公式等方面的内容的学习。
一、操作学习的心理过程
教学中教师要有效指导学生进行操作学习，必须清理操作学习的心理过程。
“数学表象”是从事物的形象中通过形式结构特征的概括而得到的观念性形象。数学表象思维的载体是客观实物的原型或模型，以及各种几何图形、代数图式（包括数学符号、图像、图表、公式）等形象性的外部材料，它们在人脑中内化为表象时可分为“图像表象”（几何型表象）和“图式表象”（代数型表象），最好通过对表象的抽象概括，形成数学的概念、法则、公式，如图1-1所示：
图1-1 操作学习心理过程
“图像表象”的形成过程比图形表象更复杂一些，要经过“物化图式”（抽象成模型）向“心理图式”（数字化）转化。以“退位减法”13-9为例，如图1-2、1-3所示：
图1-2 算法物化图式 图1-3 算法的心理图式
二、操作性学习的教学策略
课堂教学中，操作性学习常常出现三个方面的问题，影响课堂教学的效率：其一，操作体验不充分，操作活动走过场；其二，操作活动耗时太多，影响学习任务的完成；其三，学生的认知停留于直观操作层面，没有达到符号运算水平。引导学生有效地进行操作学习，要针对学生在操作学习中容易出现的问题，遵循操作性学习的心理规律，并结合学生实际来设计操作过程，并进行有效的指导。
（一）操作性学习的教学策略
1.操作活动的数学化
（1）通过演示形成算法的物化图式
例如，20以内的进位加法，往往就是从9加几开始教学的，教师常在此时使用教具和学具。如9+3：在十个格子的盒子里放人9个球，盒子外放3个，问“一共有多少个球？”操作的步骤是从盒子外拿一个球放人盒内，装满盒凑成10，盒子外还剩2个，计算的结果自然是12。教师引导学生经历这一操作过程，帮助学生形成算法的物化图式。如图2-1所示：
（2）通过操作形成数学语言
仅仅形成算法的物化图式，学生还没有真正掌握10的方法，操作的目的还没有达到。要达到操作的目的，必须在操作的同时伴随着数学语言。如：左边摆9根小棒，右边摆3根，从右边拿出1根与左边的9根合在一起，凑成10根打成一捆，边操作边表述这样几句话：9和1组成10，既然9和1组成10，所以把3分成1和2，9加1等于10，10再加2等于12。这里的关键是“凑10”，也就是说当9加几时，急需要从另一个加数中分出一个1来与9凑成10，那么当8加几时呢？必然是把另一个加数分成2加几，其目的还是为凑成10。这就是这一段操作的思维含量。只有在操作的同时表述出思路，这个思维含量才能逐渐落实在数学语言的形成上。
（3）把操作过程演变成算法的心理图式
如9+3，可把操作过程、思考过程变化成这样的式子（如图2-2所示），形成9+3算法的心理图式（表象），这是学生思考的凭借。
教学中，教师应该要求学生借助直观的算法心理图式，叙述计算的过程，强化算法心里图式在头脑中的印象。
2.外部活动内部化
学生通过操作在头脑中形成一种表象，这种表象可以是生动的形象，也可以是数量关系，充分利用这种表象在形象和抽象之间架起一座桥梁。操作学习最终要实现由外部动手操作活动引发内部思维活动，实现直观形象向逻辑抽象的过渡，必须进行“表象训练”。仍以9+3=12为例，在帮助学生建立了算法的心理图式之后，教师要让学生脱离直观的图式，在心里借助表象将“9加几”的计算过程“过电影”（不出声的说），这一环节称为“表象训练”，在实际教学中往往被教师忽视，造成学生思维环节的脱节。表象的形成需要有意识的专门训练，忽视表象的训练，抽象就失去了依据，操作也就失去了意义。
（二）操作性学习注意事项
在教学过程的不同阶段运用学具操作有其不同的作用。在学习某些数学知识前进行的学具操作，目的是帮助学生获得一定的感性认知为理解知识做好准备。要做好材料的准备和操作中的指导
教师组织操作活动，不仅要结合数学内容为学生准备丰富的操作材料和工具，还要保障学生动手操作与思考、交流的时间。这样才会使操作发现活动实实在在地展开。