抽屉原理及其应用

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本文在前人研究的基础上，提出了等分区间、分割图形等几种典型的构造抽屉的方法.然后将抽屉原理的知识与现实紧密的联系在一起，针对生活中一些常见的现象，做出了科学合理的解释，为日常生活带来便利。

应用抽屉原理的基本思想是根据不同问题的自身特点，洞察问题本质，先弄清对哪些元素进行分类，再找出分类的规律，即所谓的构造抽屉，构造抽屉是应用抽屉原理的关键.介绍抽屉原理的应用之前，本文先用几个具体的例子来介绍几种常用的构造抽屉的方法.

一、等分区间制造抽屉

当问题的结论与区间有关时，可等分某个区间，设计出若干个抽屉。

例1求证：对于任给的正无理数及任意大的自然数，存在一个有理数，使得。

上述例子涉及区间问题，把区间进行等分，得个小区间，自然就得到了个抽屉，而个数就可以作为个物体，此处可以利用抽屉原理解决问题。

二、分割图形构造抽屉

在一个几何图形内有若干已知点，我们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，再对已知点进行分类，集中对某一个或几个抽屉进行讨论，使问题得到解决。

例2在边长为米的正方形内，任意放入个点，求证：必有个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过平方米。

证明把边长为米的正方形分割成面积为平方米的个小正方形，如图3-1，因为，所以由抽屉原理知，至少有个点落在同一个面积为平方米的小正方形内（或边上），以这个点为顶点的四边形的面积总小于或等于小正方形的面积，即以这个点为顶点的四边形的面积不超过平方米。

注此例是通过分割图形构造抽屉，将正方形等分成个矩形来制造抽屉也可以解决本题。

三、利用“对称性”构造抽屉

“对称性”是数学中常用的处理问题的一种方法.同样，在构造抽屉的过程中也可以利用“对称性”来解决问题，这种方法不易观察，需要在做题过程中不断的训练.

例3九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点。（证明略）

四、用整数性质制造抽屉

当问题与整数性质有关时，我们可以用整数的性质，把题目中的数设计成一些抽屉，然后用抽屉原理去解。

例4任意个自然数中，总有两个数的差是的倍数.

证明要使两个自然数的差被整除，必须使两个自然数被除的余数相同.于是我们考虑把自然数按除以所得的余数进行分类，也就是个抽屉.根据抽屉原理，任意个自然数中，必有两个数除以所得的余数相同，因此这两个数的差一定是的倍数。

本题的特点比较明显，很容易想到利用同余类制造抽屉。

五、利用染色制造抽屉

我们可以把将物体放入盒子改为用种颜色中的每一种颜色对每一个物体染色，此时抽屉原理断言，如果个物体用种颜色涂色，那么必然有两个物体被染成相同颜色。

抽屉原理的加强形式用染色的术语表述就是：如果个物体中的每一个物体被指定用种颜色中的一种染色，那么存在一个这样的，使得第种颜色的物体至少有个.

抽屉原理叙述的内容很简单，但应用起来却比较复杂，主要原因就是必须找到合适的抽屉，抽屉的构造方法大致可归结为两大类：一类是用分割图形构造抽屉，一类是用分类的概念构造抽屉，其实质是对对象进行恰当的分类.抽屉选的好、选的巧，可以得出非常漂亮的结果，抽屉构造的方法很多，上述方法旨在通过以上例子做到举一反三，下面本文将结合上述方法，简单谈一下抽屉原理在数学解题中以及生活中的应用。

（作者单位：黄淮学院数学科学系）