“打开抽屉”巧解题
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抽屉原理是德国数学家狄里克雷最早发现并应用于数论研究的。后人为了纪念他，就把抽屉原理叫做狄里克雷重叠原理。即把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽巢原理。不要小看这个原理，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。
【例1】一个班里有59名同学，说明其中至少有2名同学在同一个星期里过生日。
【分析与解】把59名同学看作59个苹果，把一个星期看作一个抽屉，一年有52个星期，即52个抽屉。把59个苹果放入52个抽屉，一定有一个抽屉里至少放入两个苹果，也就是总有一个星期里至少有2名同学过生日。
【例2】在1米长的线段上随意点上5个点，说明至少有两个点的距离不大于25厘米。
【分析与解】把1米长的线段平均分成四段，每段长25厘米。把每一段看作一个抽屉，把5个点看作5个苹果，5个苹果放入4个抽屉，总有一个抽屉里至少放入两个苹果，也就是有一段里至少有两个点，这两个点之间的距离一定不大于25厘米，所以结论是成立的。
【例3】有5个小朋友，每人都从装有许多黑白棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子颜色配组是一样的。
【分析与解】首先要确定3枚棋子可以有多少种不同的配组情况，可以有“3黑、2黑1白、1黑2白、3白”共4种，即4个抽屉。把每人的3枚棋子作为一组当作一个苹果，即有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是至少有两个小朋友摸出的棋子颜色配组是一样的。
【例4】上衣和裤子分别有红、黄、蓝3种颜色，同学们可以任意选择上衣和裤子穿上。至少要有几名学生，才能保证有两名学生穿的上衣和裤子颜色相同？
【分析与解】本题中，我们把上衣和裤子的几种搭配情况看作抽屉，问题就可解决。3种颜色的上衣和裤子的搭配情况有以下9种：红上衣红裤子、红上衣黄裤子、红上衣蓝裤子、黄上衣红裤子、黄上衣黄裤子、黄上衣蓝裤子、蓝上衣黄裤子、蓝上衣红裤子、蓝上衣蓝裤子。把每一N搭配看作一个抽屉，共9个抽屉。要保证有两名学生穿的上衣、裤子颜色都相同，即要保证有一个抽屉至少放两个苹果，所以至少要9+1=10（个）苹果，也就是说至少要有10名学生，才能保证有两名学生穿的上衣和裤子的颜色相同。
【例5】某人步行10小时，共走了45千米。已知他第1小时走了5千米，最后1小时走了3千米，其余各小时都走了整数千米。说明：在中间的8小时当中，一定存在连续的2小时，这人至少走了10千米。
【分析与解】为了明确题目中的数量关系，可根据问题的条件找出“苹果”，构成“抽屉”，使问题得解。中间8小时共走了45 5 3=37（千米），把37千米看作37个苹果；这8小时按顺序分成4段（第2、3小时、第4、5小时、第6、7小时、第8、9小时），把这4段看作4个抽屉。由37=9？+1知，必有一个抽屉，至少放有10个苹果，即必有一个连续的2小时，这人至少走了10千米。
【例6】用1、2、3这3个数字任意写出一个2003位数。从这个数中任意截取相邻的3个数字，可以得到许多3位数。这些3位数中至少有多少个是相同的？
【分析与解】因为是求从这个2003位数中截取的相邻的3位数有多少个是相同的，所以“苹果”应该是截取的所有3位数，而“抽屉”应该是用1、2、3组成的不同的3位数的个数。在这个2003位数中，共能截取出相邻的3位数的个数有2003 2=2001（个）。用1、2、3这3个数字可以组成的不同的3位数的个数是3？？=27（个）。2001？7=74（组）……3（个）。所以在这些3位数中，至少有75个是相同的。
【小结与提示】在抽屉原理的运用中，主要考虑三个数：苹果数、抽屉数和结论数。在解题时，我们首先要准确判断哪个量代表抽屉，哪个量代表苹果，哪个量代表结论。当题目中没有直接告诉我们苹果和抽屉时，我们就要选取和构造苹果和抽屉，再利用抽屉原理进行解答。
【练一练】
1.某校的小学生年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中任选几位同学就一定保证其中有两位同学的年龄相同？
2.证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
3.学校体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球。现有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿一个球，至多拿2个球。问：至少有多少名同学所拿的球是完全一样的？
4.口袋中放有红、黄、白、黑四种颜色的袜子各10只，只许用手摸，不许用眼看，至少要从口袋中取出多少只袜子，才能保证配成5双。
5.“华杯”赛获奖的87名学生来自12所小学，证明至少有8名学生来自同一所学校。
6.用红、白、黄三种颜色给一个3n的长方形中的每一个小方格随意涂上一种颜色。n至少为多少时，才能保证至少有2列涂色的方式完全相同？